《线性代数（辽宁联盟）》章节测试网课答案.docxVIP

《线性代数（辽宁联盟）》章节测试网课答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.如果矩阵A是m×n阶矩阵，那么矩阵A的转置矩阵A^T是（）

A.m×n阶矩阵

B.n×m阶矩阵

C.m×m阶矩阵

D.n×n阶矩阵

答案：B

解析：矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行。因此，m×n阶矩阵的转置矩阵是n×m阶矩阵。

2.线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）

A.矩阵A是可逆的

B.矩阵A的秩等于增广矩阵的秩

C.向量b在矩阵A的列空间中

D.矩阵A的行向量线性无关

答案：B

解析：线性方程组Ax=b有解的充要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。

3.下列哪个矩阵不是对称矩阵？（）

A.\(\begin{bmatrix}12\\23\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}123\\234\\345\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1-23\\-24-5\\3-56\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}123\\234\\345\end{bmatrix}\)

答案：D

解析：对称矩阵是指矩阵的转置矩阵等于原矩阵。选项D的转置矩阵不等于原矩阵，因此不是对称矩阵。

4.下列关于特征值的说法，正确的是（）

A.特征值是矩阵的行列式

B.特征值是矩阵的迹

C.特征值是矩阵的特征向量的系数

D.特征值是矩阵的行列式为零的根

答案：D

解析：特征值是矩阵行列式为零的根，特征向量是对应特征值的非零向量。

5.设矩阵A、B均为n阶矩阵，且AB=BA，则下列说法正确的是（）

A.A和B的特征值相等

B.A和B的特征向量相等

C.A和B的行列式相等

D.A和B的秩相等

答案：C

解析：若矩阵A、B均为n阶矩阵，且AB=BA，则它们的行列式相等。

6.若线性方程组Ax=0的解集为{t(1,2,3)^T|t为任意实数}，则矩阵A的秩是（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：线性方程组Ax=0的解集表示矩阵A的零空间，其维数为3-1=2（3为矩阵A的列数，1为矩阵A的秩）。因此，矩阵A的秩为3-2=1。

7.下列关于矩阵等价的叙述，正确的是（）

A.如果矩阵A和矩阵B等价，那么它们有相同的特征值

B.如果矩阵A和矩阵B等价，那么它们有相同的行列式

C.如果矩阵A和矩阵B等价，那么它们有相同的秩

D.如果矩阵A和矩阵B等价，那么它们有相同的迹

答案：C

解析：矩阵等价是指两个矩阵经过有限次初等变换后可以相互转化。等价矩阵具有相同的秩。

8.设矩阵A是n阶矩阵，且A的n个特征值互不相等，则下列说法正确的是（）

A.A的n个特征向量线性无关

B.A的n个特征向量线性相关

C.A的n个特征向量不能构成矩阵A的一组基

D.A的n个特征向量不能构成矩阵A的零空间

答案：A

解析：若矩阵A的n个特征值互不相等，则A的n个特征向量线性无关。

二、填空题（每题5分，共40分）

1.设矩阵A是m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，则AB是______阶矩阵。

答案：m×s

2.若线性方程组Ax=b有唯一解，则矩阵A必须是______矩阵。

答案：可逆

3.设矩阵A是3阶对称矩阵，若A的行列式为6，则A的迹为______。

答案：6

4.设矩阵A的特征值分别为1，2，3，则矩阵2A的特征值为______。

答案：2，4，6

5.若矩阵A的秩为r，则A的列空间的维数为______。

答案：r

6.设矩阵A的伴随矩阵为A*，若A的行列式为2，则A*的行列式为______。

答案：4

7.设矩阵A是n阶矩阵，且A的n个特征值互不相等，则A的逆矩阵的特征值为______。

答案：1/λ1,1/λ2,...,1/λn（λ1,λ2,...,λn为A的特征值）

8.设矩阵A是n阶矩阵，若A的n个特征值之和为0，则A的迹为______。

答案：0

三、解答题（每题20分，共40分）

1.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值和特征向量。

解：

首先，求矩阵A的特征值。特征值是满足方程det(A-λI)=0的λ值，其中I是单位矩阵。

det(A-λI)=det(\(\begin{bmatrix}1-λ2\\34-λ\end{bmatrix}\))=(1-λ)(4-λ)-6=λ^2-5λ+2=0

解这个方程得到特征值λ