第六章数值积分和数值微分.pptVIP

（2）复化辛卜生公式流程图第61页，共109页，星期日，2025年，2月5日(3)程序实现(见附录AA-12复化辛卜生求积法)例6.13依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛卜生公式计算定积分解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，见P136由复化梯形公式(6.5)可得如下计算公式：第62页，共109页，星期日，2025年，2月5日由复化辛卜生公式(6.6)可得如下计算公式（积分准确值I=0.9460831）这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。第63页，共109页，星期日，2025年，2月5日例6.14用复化梯形公式计算定积分才能使误差不超过解:取,则,又区间长度b-a=1，对复化梯形公式有余项即,n≥212.85，取n=213，即将区间[0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过。问区间[0,1]应分多少等份第64页，共109页，星期日，2025年，2月5日6.6龙贝格（Romberg）求积法复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。6.6.1变步长的梯形公式变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。第65页，共109页，星期日，2025年，2月5日设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步长。对于某个子区间,利用梯形公式计算积分近似值有对整个区间[a,b]有第66页，共109页，星期日，2025年，2月5日将子区间再二等份,取其中点作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间,利用复化梯形公式计算其积分近似值。对整个区间[a,b]有比较和有(6.7)(6.7)式称为变步长梯形公式第67页，共109页，星期日，2025年，2月5日当把积分区间分成n等份，用复化梯形公式计算积分I的近似值时，截断误差为若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值，则截断误差为当在区间[a,b]上变化不大时,有所以第68页，共109页，星期日，2025年，2月5日可见,当步长二分后误差将减至,将上式移项整理，可得验后误差估计式上式说明，只要二等份前后两个积分值和相当接近，就可以保证计算结果的误差很小，使接近于积分值I。第69页，共109页，星期日，2025年，2月5日6.6.2变步长的梯形求积算法实现（1）变步长的梯形求积法的计算步骤①变步长梯形求积法。它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值其中Tn和T2n分别代表二等分前后的积分值②如果,(ε为给定的误差限)则T2n作为积分的近似值,否则继续进行二等分,即转①再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值T2n作为所求的结果第70页，共109页，星期日，2025年，2月5日（2）变步长梯形公式的流程图第71页，共109页，星期日，2025年，2月5日(3)程序实现(见附录AA-13变步长梯形求积法)例6.15用变步长梯形求积法计算定积分解:先对整个区间?0,1?用梯形公式,对于所以有然后将区间二等份,由于,故有进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值第72页，共109页，星期日，2025年，2月5日有这样不断二分下去，计算结果如P139列表所示。积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果。第73页，共109页，星期日，2025年，2月5日6.6.3龙贝格求积公式变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，