【复变函数】-史上最全--上.ppt

复变函数与积分变换（B）

教材《复变函数》(四版)

清华大学数学教研室编

2013-2014学年第一学期

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第一章复数与复变函数

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对象复变函数（自变量为复数的函数）

主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，

具体地就是复数域上的微积分

主要内容复数与复变函数、解析函数、

复变函数的积分、级数、留数、

共形映射、傅立叶变换和拉普

拉斯变换等

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学习方法复变函数中许多概念、理论、和

方法是实变函数在复数域内的推

广和发展，它们之间有许多相似

之处.但又有不同之处，在学习

中要善于比较、区别、特别要注

意复数域上特有的性质与结果

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背景

•十六世纪,在解代数方程时引进复数

•为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩

大到复数域

•在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清

楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时

期人们把复数看作不能接受的“虚数”

•直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与

L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意

义和物理意义，澄清了复数的概念

•应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些

问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和

发展.

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•十九世纪奠定复变函数的理论基础

•三位代表人物:

•A.L.Cauchy（1789-1866)

•K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研

究复变函数

•G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映照

性质

•通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，

且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，

流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

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1.复数的概念

定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi

为复数.

•复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.

(realpart)(imaginarypart)

•复数的模|z|x2y20

•判断复数相等

其中

z1z2x1x2,y1y2,z1x1iy1,z2x2iy2

z0Re(z)Im(z)0

A一般,任意两个复数不能比较大小.

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2.代数运算

定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

z1x1x2y1y2x2y1x1y2

z2i2(z20)

z2|z2||z2|

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•运算规律

复数的运算满足交换律、结合律、分配律.

（与实数相同）即，

z1+z2=z2+z1；

z1z2=z2z1；

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；

z1(z2z3)=(z1z2)z3；

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

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3.共轭复数

定义若z=x+iy,称z=x-iy为z的共轭复数.

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