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北京理工大学2025年强基计划物理学科数学建模试题及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

试题一

已知一个质量为m的质点，在一个半径为R的水平圆形平台上做匀速圆周运动。平台通过一根长为L的不可伸长的轻绳悬挂于固定点O。假设质点运动时，平台保持静止，绳与竖直方向的夹角为θ（θ为锐角）。忽略空气阻力，重力加速度为g。

1.试用牛顿第二定律，建立描述质点做匀速圆周运动的微分方程（不必求解）。

2.假设质点运动的角速度为ω，试推导出绳中张力T和水平平台对质点的支持力N分别表达式。

3.若平台对质点的最大支持力N_max为重力mg的2倍，试求质点做匀速圆周运动的最大角速度ω_max。

4.在质点以ω_max的角速度运动时，试求此时绳与竖直方向的夹角θ的值。

5.探讨当ω变化时，绳中张力T和水平平台对质点的支持力N各自的变化规律。

试题二

考虑一维热传导问题。设有一根长度为L的均匀细杆，其初始温度分布函数为f(x)，x∈[0,L]。杆的左端（x=0）保持恒定温度T?，右端（x=L）通过一个热绝缘层，与外界环境的热交换可以忽略。杆的热扩散系数为α（常数）。

1.试用热传导方程和相应的边界条件及初始条件，建立描述杆上温度分布随时间演化问题的数学模型（形式为偏微分方程、边界条件、初始条件）。

2.假设杆的长度L=1，热扩散系数α=0.1，初始温度分布为f(x)=sin(πx)，边界条件为x=0处T(x,0)=1，x=1处温度变化率dT(x,0)/dx=0。试求该问题的精确解T(x,t)。

3.若初始温度分布改为f(x)=0，边界条件不变，试描述稳态温度分布的大致形态，并解释原因。

4.分析热扩散系数α对温度分布随时间演化速度的影响。

5.讨论如果右端（x=L）也改为保持恒定温度T?，模型的边界条件将如何修改？稳态温度分布又将如何变化？

试题三

在一个容积为V的密闭容器中，装有总质量为M的某种理想气体。容器内有一个质量为m、可无摩擦移动的活塞，将容器分为两个部分A和B，体积分别为V_A和V_B(V_A+V_B=V)。初始时，A部分气体的压强为P_A0，B部分气体的压强为P_B0，温度分别为T_A0和T_B0。整个系统与外界处于热平衡。

1.假设活塞在A、B两部分气体压强差的作用下达到平衡，试用力学平衡条件，建立描述活塞位置的方程（设活塞处于平衡位置时，A、B两部分气体体积分别为V_A*和V_B*）。

2.根据理想气体状态方程，分别写出初始时刻A、B两部分气体的状态方程。

3.假设活塞开始移动，最终达到新的平衡状态。试从能量守恒或热力学第一定律的角度，推导最终平衡时A、B两部分气体的温度T_Af和T_Bf满足的关系式（不必求解具体数值）。

4.探讨如果初始时A部分气体温度T_A0显著高于B部分气体温度T_B0，活塞将如何移动？最终平衡状态与初始状态相比，A、B两部分气体的压强和内能将如何变化？（定性分析）

5.若容器绝热，即与外界无热量交换，活塞移动过程中A、B两部分气体的压强和温度将如何变化？最终状态与在相同初始条件下与外界有热交换达到的平衡状态相比，有何异同？

试题四

在xy平面内，一个带正电荷Q的点电荷位于原点O。一个质量为m、带正电荷q的质点，从x轴上距离原点r?(r?0)的P?点以初速度v?沿y轴正方向抛出。质点只受到点电荷Q的库仑力作用，忽略重力和其他力。静电力常量为k。

1.试用牛顿第二定律和库仑定律，建立描述质点运动的微分方程组（质点的运动轨迹方程不必求解）。

2.分析质点在运动过程中，其总能量E（动能+电势能）是否守恒？并说明理由。

3.若质点做匀速圆周运动，试求其轨道半径R和角速度ω的表达式。

4.判断质点以初速度v?从P?点抛出时，是否可能做匀速圆周运动？为什么？

5.若质点做的是椭圆轨道运动，试分析其近地点和远地点的位置关系，并说明电势能和动能在这两个位置附近如何转化。

试题五

考虑一个由RLC元件组成的串联电路，电源电压为U(t)，角频率为ω。电路中的电阻R、电感L、电容C均为已知常量。

1.试用基尔霍夫电压定律，建立描述该电路中电流i(t)或电压u_L(t)、u_C(t)随时间变化的微分方程。

2.分析该电路的固有频率（自然频率）是多少？它取决于哪些元件参数？

3.假设电源电压U(