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北京大学2025年天体物理专业物理试题及解析详解

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

试述开普勒定律在天体力学中的意义，并说明在考虑天体非点质量以及相对论效应时，开普勒定律需要如何修正。

二、

一个理想化的无限长同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为b，两者之间填充等离子体。等离子体的电导率随等离子体密度n变化的关系为σ(n)=σ?n^m，其中σ?和m为常数。假设内外导体之间维持恒定电压差V?，求：（1）等离子体中的电场强度E的分布；（2）等离子体中的电流密度J的分布；（3）单位长度电缆上等离子体的焦耳热损耗率。

三、

考虑一个由氢原子组成的理想气体，其粒子数密度n随温度T和密度ρ的变化符合玻尔兹曼分布。假设气体处于热力学平衡状态，试推导理想气体的状态方程p=nkT（其中p为压强，k为玻尔兹曼常量）。请说明推导过程中涉及的关键假设和物理量含义。

四、

简要说明广义相对论中引力场方程的物理意义。试以引力透镜效应为例，定性解释该效应是如何体现引力场对光线传播影响的。若一遥远光源发出的光线经过一个质量为M、半径为R（满足史瓦西半径条件）的静止黑洞附近，描述光线轨道弯曲的主要物理机制。

五、

恒星内部的核聚变反应是恒星能量的主要来源。试简述质子-质子链反应和CNO循环两种主要的恒星核反应途径，并比较它们在不同温度（T）和密度（ρ）条件下的相对重要性。指出决定这两种反应途径主导地位的物理因素。

六、

宇宙大爆炸模型预言了宇宙早期存在一个温度极高、密度极大的状态。随着宇宙膨胀，温度逐渐降低。根据黑体辐射定律，试推导早期宇宙的背景辐射谱随温度T的变化关系。简述大爆炸核合成理论的基本思想，并说明其能够合成的元素种类和丰度主要取决于哪些初始条件。

七、

设一星系的质量M和半径R满足M∝R^(3/2)的关系，其中M为星系总质量，R为星系半径。假设星系内物质分布满足此密度分布规律，且星系内只有引力作用。试推导位于星系半径R处的一个质量为m的恒星所受的引力大小F。若测得该恒星绕星系中心做圆周运动，其角速度ω与R的关系为ω∝R^(-3/4)，请解释这一观测结果与所设密度分布的关系。

试卷答案

一、

开普勒定律描述了行星绕太阳运动的轨道、周期和中心天体质量之间的关系，是天体力学的基础。第一定律（轨道定律）指出行星轨道为椭圆，太阳位于一个焦点；第二定律（面积定律）表明行星与太阳连线在相等时间内扫过相等的面积，反映了行星角动量守恒；第三定律（周期定律）给出行星公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比，定量了中心天体质量的影响。

在考虑天体非点质量时，如双星系统，开普勒定律需要修正。轨道不再是严格的椭圆，而是共质心椭圆；中心天体不再是单一恒星，而是双星系统的质心。运动方程需使用牛顿万有引力定律描述两个天体之间的相互作用。

相对论效应在强引力场或高速运动情况下显著。根据广义相对论，引力并非传统意义上的力，而是时空弯曲的表现。行星绕行是其在弯曲时空中自由落体的路径（测地线）。此时，轨道会稍微偏离经典开普勒椭圆，出现进动等现象（如水星近日点进动）。同时，时间膨胀效应会导致靠近大质量天体的行星相对于远处观测者运行变慢。

二、

（1）根据高斯定律，考虑同轴电缆长度L，半径r（arb），包围的电荷量为零（理想导体），有∮E·dA=Q_enc/ε?=0。由于场具有轴对称性，E垂直于柱面，大小与距离r成反比：E(r)=λ/(2πε?r)，其中λ为内导体单位长度电荷量。方向沿径向向外（假设内导体带正电）。

（2）电流密度J=σE。将E(r)代入，得J(r)=σ?n(r)^m*[λ/(2πε?r)]=(σ?λ/2πε?)*[n?(r/a)^(m-1)]*[1/r]，其中n?为r=a处粒子数密度，n(r)=n?(a^m/r^m)。方向与E相同。

（3）单位长度焦耳热损耗率P=∫?^bJ·E·2πr·dr=∫?^b[σ?n?(a^m/r^m)]*[λ/(2πε?r)]*[λ/(2πε?r)]*2πr·dr

=(λ2σ?n?)/(2πε?2)*∫?^b(a^m/r^(m+1))dr=(λ2σ?n?a^m)/(2πε?2(m+1)b^(m+1))。

三、

理想气体粒子间相互作用忽略不计。考虑粒子能量为ε，其附近微元状态体积为dτ，该状态出现的概率正比于该状态的熵，即正比于1。因此，粒子数dN在能量ε附近微元状态体积dτ内的概率为dP∝dτ*e^(-ε/kT)。其中e^(-ε/kT)反映了粒子具有能量ε的难易程度，k为玻尔兹曼常量。

在热力学平衡态，粒子数按能量分布的