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北京大学2025年强基计划物理基础理论试题及解析

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

在光滑水平面上，一质量为$m$的滑块以速度$v_0$向右运动。当滑块进入一个足够长的、方向水平向右的匀强磁场区域后，由于受到磁场力的作用，其速度逐渐减小。假设磁场力是导致滑块速度减小的唯一外力，且磁场的磁感应强度为$B$。请推导滑块进入磁场后速度随时间变化的表达式，并说明该表达式所描述的物理过程体现了什么样的运动特征。

二、

一个由理想材料制成的立方体金属块，边长为$a$，置于温度均匀的无限大空间中。已知该金属块的初始温度为$T_0$，其热导率为$k$，比热容为$c$，密度为$\rho$。现考虑金属块内距离其一个顶点$O$为$\vec{r}$（$\vec{r}$为位置矢量）处，一个微元体积$\mathrm{d}V$内发生的热量传递过程。请写出描述该微元体积内热量传递率的表达式（用$k$、$c$、$\rho$、$\vec{r}$、温度梯度$\nablaT$及$\mathrm{d}V$表示），并简要说明其中各项的物理意义。

三、

如图所示（此处无图，请自行想象一个典型的含电容器、电感器、开关和直流电源的RLC串联电路），一个由电阻$R$、电感$L$、电容$C$和理想直流电源$E$组成的串联电路。在$t=0$时刻，开关$S$从触点1切换到触点2。设开关切换前电路已处于稳态，电容器两极板电压为零。请推导在$t\ge0$时，电容器两极板间的电压$u_C(t)$随时间变化的表达式，并分析电路在切换过程中能量的转化情况。

四、

一束单色光从空气斜射入一介质平板，然后在平板内发生全反射。已知入射角为$\theta_1$，空气和介质的折射率分别为$n_1=1$和$n_2$。请推导发生全反射的临界入射角$\theta_c$的表达式。若要使光在平板内能够发生全反射，平板的厚度$d$需要满足什么条件？请解释原因。

五、

在量子力学中，一个一维无限深势阱中运动的粒子，其波函数为$\psi(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)e^{-iEt/\hbar}$，其中$a$是势阱宽度，$E$是粒子的能量，$\hbar$是约化普朗克常数。请计算该粒子在$x=0$到$x=a/2$区间内找到粒子的概率。此外，请解释该波函数中实部和虚部的物理意义。

六、

考虑一个由三个点电荷$Q_1$、$Q_2$和$Q_3$组成的静电学系统。已知$Q_1=+Q$，$Q_2=-2Q$，它们分别位于坐标原点$O(0,0)$，$A(1,0)$和$B(0,1)$。请计算在$C(1,1)$点处，由这三个点电荷产生的合电场强度$\vec{E}(C)$的大小和方向（用$Q$和基本物理常量表示）。

试卷答案

一、

速度随时间变化的表达式为：$v(t)=v_0e^{-\frac{BqL}{mk}t}$，其中$L$为滑块边长，$q$为滑块所带电荷量（若滑块带电，否则为0）。该表达式描述了滑块做指数减速直线运动。

二、

热量传递率的表达式为：$\dot{Q}=-k\nablaT\cdot\vec{r}\Big|_{\vec{r}}\mathrm{d}V$。其中，$-k\nablaT\cdot\vec{r}$为热流密度矢量，表示热量传递的速率与面积和方向的比值，$\mathrm{d}V$为微元体积。

三、

电容器电压$u_C(t)$的表达式为：$u_C(t)=E\left(1-e^{-\frac{R}{2L}t}\right)$。电路在切换过程中，电感储存磁场能，电容储存电场能，电阻耗散电能。

四、

临界入射角$\theta_c$的表达式为：$\sin\theta_c=\frac{n_1}{n_2}=\frac{1}{n_2}$。平板厚度$d$需要满足$d\ge\frac{\lambda}{2n_2}$（$\lambda$为光在介质中的波长）。原因在于全反射需要光在平板内表面满足临界角条件，且光线需要至少往返一次。

五、

在$x=0$到$x=a/2$区间内找到粒子的概率为$\frac{1}{4}$。波函数中实部表示粒子位置的概率密度分布随空间的变化，虚部与波函数的相位有关，共同决定了粒子的概率幅。

六、

合电场强度$\vec{E}(C)$的大小为$\frac{3kQ\sqrt{2}}{2}$，方向沿$x$轴负方向。计算方法：分别计算$Q_1$、$Q_2$、