代数拓扑群考试题及答案.docVIP

代数拓扑群考试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪个是拓扑空间的性质？

A.连通性

B.奇偶性

C.大小

D.颜色

2.拓扑群的运算满足？

A.交换律

B.结合律

C.分配律

D.消去律

3.单位元的邻域基有什么特点？

A.包含单位元

B.不包含单位元

C.与单位元无关

D.都是空集

4.拓扑群的同态保持什么？

A.拓扑结构

B.群结构

C.集合元素

D.颜色

5.离散拓扑空间的特点是？

A.单点集是开集

B.空集是开集

C.所有子集是开集

D.没有开集

6.拓扑群的连续自同构群是？

A.离散群

B.拓扑群

C.有限群

D.无限群

7.紧致拓扑空间的闭子集是？

A.紧致的

B.非紧致的

C.空集

D.全集

8.拓扑群的子群在诱导拓扑下是？

A.拓扑群

B.半群

C.环

D.域

9.连通拓扑空间的连续映射像？

A.连通

B.不连通

C.可能连通可能不连通

D.为空集

10.拓扑群的商群在商拓扑下是？

A.拓扑群

B.拓扑空间

C.集合

D.环

答案：1.A2.B3.A4.B5.C6.B7.A8.A9.A10.A

多项选择题（每题2分，共10题）

1.拓扑群的性质包含？

A.拓扑结构

B.群结构

C.度量结构

D.序结构

2.以下哪些是拓扑空间的分离公理？

A.T0公理

B.T1公理

C.T2公理

D.T3公理

3.拓扑群的同态包括？

A.连续同态

B.开同态

C.闭同态

D.单同态

4.紧致拓扑空间的等价刻画有？

A.任意开覆盖有有限子覆盖

B.任意网有收敛子网

C.任意滤子有收敛子滤子

D.是闭区间

5.拓扑群的子群有哪些？

A.正规子群

B.离散子群

C.紧致子群

D.平凡子群

6.拓扑空间的连通分支是？

A.连通子集

B.极大连通子集

C.闭子集

D.开子集

7.拓扑群的乘积空间是？

A.拓扑空间

B.群

C.拓扑群

D.环空间

8.以下哪些是拓扑群的例子？

A.实数加法群

B.整数加法群

C.一般线性群

D.对称群

9.拓扑空间的紧致子集具有？

A.闭性

B.有界性

C.极限点性质

D.开性

10.拓扑群的商映射具有？

A.连续性

B.开性

C.闭性

D.单射性

答案：1.AB2.ABCD3.ABCD4.ABC5.ABCD6.AB7.C8.ABC9.AC10.ABC

判断题（每题2分，共10题）

1.拓扑群一定是Hausdorff空间。（）

2.拓扑空间的开集一定是连通的。（）

3.拓扑群的同构一定是同胚。（）

4.紧致拓扑空间一定是有限集。（）

5.拓扑群的子群的陪集是开集。（）

6.拓扑空间的连续映射一定是开映射。（）

7.拓扑群的单位元邻域基生成拓扑。（）

8.离散拓扑空间是紧致的。（）

9.拓扑群的乘积群的拓扑是乘积拓扑。（）

10.拓扑空间的连通分支一定是闭集。（）

答案：1.×2.×3.√这是因为拓扑群同构既是群同构又是拓扑同胚。4.×5.×6.×7.√8.×9.√10.√

简答题（总4题，每题5分）

1.简述拓扑群的定义。

答：一个集合G既是群又是拓扑空间，且群运算乘法和求逆运算关于拓扑是连续的。

2.拓扑空间连通性的定义。

答：拓扑空间不能分解为两个非空不交开集的并。

3.Hausdorff空间的特点。

答：空间中任意两点有不相交的邻域。

4.紧致拓扑空间的作用。

答：在分析等领域有重要应用，如保证连续函数的一些良好性质等。

讨论题（总4题，每题5分）

1.讨论拓扑群同态与拓扑结构和群结构的关系。

答：拓扑群同态保持群结构，同时在连续的要求下保持拓扑结构，使得群运算和拓扑性质协调统一。

2.谈谈紧致拓扑空间在数学其他分支的联系。

答：如在泛函分析中紧致性保证算子的一些性质，在代数几何中与一些紧致化问题相关等。

3.说说拓扑群子群的研究意义。

答：有助于了解拓扑群的结构，通过子群性质研究拓扑群整体性质，如正规子群用于构造商群等。

4.讨论拓扑空间连通分支的应用。

答：在几何分类、动力系统研究等方面有应用，比如通过连通分支分析图形或系统的不同连通部分特性。