条件概率及全概率公式.pptxVIP

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条件概率

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.

条件概率的概念

一般P(A|B)≠P(A)

如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).

条件概率及全概率公式

P(A)=1/6，

例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，

P(A|B)=？

掷骰子

已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，

于是P(A|B)=1/3.

B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，

容易看到

P(A|B)

P(A)=3/10，

又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}

A={取到一等品}，

P(A|B)

B={取到正品}

P(A)=3/10，

P(A|B)=3/7

本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.

A={取到一等品}，

计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.

这好象给了我们一个“信息”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.

2.条件概率的定义

若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).

设A、B是两个事件，且P(B)0,则称

(1)

为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.

3.条件概率的性质(自行验证)

设B是一事件，且P(B)0,则

1.对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;

2.P(Ω|B)=1；

3.设A1,…,An互不相容，则

P[(A1+…+An)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)

而且，前面对概率所证明的一些重要性质

都适用于条件概率.

4.条件概率的计算

2)从加入条件后可用缩减样本空间法

1)用定义计算:

P(B)0

掷骰子

例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}

P(A|B）=

B发生后的

缩减样本空间

所含样本点总数

在缩减样本空间

中A所含样本点

个数

例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

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解法1:

解法2:

解:设A={掷出点数之和不小于10}

B={第一颗掷出6点}

应用定义

在B发生后的

缩减样本空间

中计算

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例2设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？

解设A表示“能活到20岁以上”，B表示“能活到25岁以上”。

则

由已知

从而所求的概率为

条件概率与无条件概率

之间的大小无确定关系

若

一般地

条件概率

无条件概率

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由条件概率的定义：

定理1.1若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)

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若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).

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若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)

和(3)式都称为乘法公式,利用

它们可计算两个事件同时发生的概率

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二、乘法公式

则有

这就是n个事件的乘法公式．

多个事件的乘法公式

解：设A表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”，则

例1在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率。

例2袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．

解：

则

由乘法公式，我们有

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乘法公式应用举例

乘法公式应用举例

一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.

（波里亚罐子模型）

b个白球,r个红球

于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”

随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.

解:设Wi={第i次