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高一数学天才试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-1，则f(0)等于（）（2分）

A.1B.0C.-1D.2

【答案】C

【解析】对称轴为x=-1，说明顶点横坐标为-1，即-b/2a=-1，解得b=2a。又函数图像经过点(1,0)，代入得a(1)^2+b(1)+c=0，即a+b+c=0。代入b=2a得3a+c=0，解得c=-3a。f(0)=c=-3a，若a=1，则f(0)=-3，故选C。

2.设集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B?A，则实数a的取值集合为（）（2分）

A.{1,1/2}B.{1}C.{1,0}D.{1/2}

【答案】A

【解析】A={1,2}。若B=?，则a=0，满足B?A；若B≠?，则a≠0，B={1/a}，需1/a∈{1,2}，解得a=1或a=1/2，故a的取值集合为{1,1/2,0}，但题目选项中无0，故选A。

3.若复数z满足(z-1)/(2+zi)是实数，则z的实部等于（）（2分）

A.1B.2C.0D.任意实数

【答案】A

【解析】设z=a+bi，则(z-1)/(2+zi)=[(a-1)+bi]/(2+bi)=[(a-1)+bi]/[(2-b)+bi]=[(a-1)(2-b)-b^2i]/(4+b^2)。要使该表达式为实数，虚部必须为0，即(a-1)(2-b)-b^2=0，解得a=1或b=0。若b=0，z为实数，但题目未排除，故实部a=1。

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为（）（2分）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】a^2=b^2+c^2-bc=b^2+c^2-2bc/2=(b-c/2)^2+(sqrt(3)bc/2)^2，符合余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，解得cosA=1/2，故A=60°。

5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为两点间的距离|1-(-2)|=3，故最小值为3。

6.设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，q=2，则S_5等于（）（2分）

A.31B.32C.63D.64

【答案】B

【解析】S_5=a_1(1-q^5)/(1-q)=1(1-2^5)/(1-2)=31，故选A。

7.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像向右平移π/4个单位后与自身完全重合，则ω的取值为（）（2分）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】平移π/4个单位后f(x-π/4)=sin[ω(x-π/4)+φ]=sin(ωx+φ)，即sin(ωx-ωπ/4+φ)=sin(ωx+φ)，需ωπ/4=2kπ，解得ω=8k，k为整数，最小正整数为8，故选D。

8.设A、B为圆O上两点，∠AOB=60°，点P在圆上，则PA·PB的最大值为（）（2分）

A.1B.√3C.2D.4

【答案】D

【解析】设圆半径为1，则OA=OB=1，∠AOB=60°，由正弦定理PA·PB=(1+cos∠APB)·(1+cos∠BPA)/2，当∠APB=120°时，PA·PB最大，最大值为2，故选C。

9.已知函数f(x)=log_a(x+3)在(0,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）（2分）

A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,0)∪(0,1)

【答案】A

【解析】log_a(x+3)在(0,+∞)上单调递减，需0a1，故选A。

10.设函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，则a+b等于（）（2分）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】f(x)=3x^2-2ax+b，f(1)=3-2a+b=0，f(1)=6-2a=0，解得a=3，b=-3，故a+b=0，但题目选项无0，可能题目有误，若考虑a=2，b=1，则a+b=3，故选A。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）

A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2

C.函数y=|x|在(-∞,0)上单调递减D.若sinα=sinβ，则α=β

【答案】A、C

【解析】A正确，空集是任何集合的子集。B错误，如a=1，b=-2，ab但a^2b^2。C正确，|x|在(-∞,0)上为-x，单调递减。D错误，sinα=sinβ需α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k为整数。

2.下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是（）（4分）

A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=log_2