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线性代数期末试卷及答案

一、单项选择题

1.设\(A\)，\(B\)为\(n\)阶方阵，且\(AB=0\)，则必有（）

A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(A+B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)

答案：C

2.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(A^\)是\(A\)的伴随矩阵，则（）

A.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)B.\(\vertA^\vert=\vertA\vert\)C.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^n\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}\)

答案：A

3.向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是（）

A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一个零向量

B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有两个向量成比例

C.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一个向量可由其余向量线性表示

D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每一个向量都可由其余向量线性表示

答案：C

4.设\(A\)为\(m\timesn\)矩阵，齐次线性方程组\(Ax=0\)仅有零解的充分必要条件是（）

A.\(A\)的列向量组线性无关B.\(A\)的列向量组线性相关

C.\(A\)的行向量组线性无关D.\(A\)的行向量组线性相关

答案：A

5.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，\(P\)是\(n\)阶可逆矩阵，\(B=P^TAP\)，则（）

A.\(A\)与\(B\)相似且合同B.\(A\)与\(B\)相似但不合同

C.\(A\)与\(B\)合同但不相似D.\(A\)与\(B\)既不相似也不合同

答案：A

6.若\(n\)阶方阵\(A\)与\(B\)相似，则（）

A.\(A\)与\(B\)有相同的特征值和特征向量

B.\(A\)与\(B\)都相似于同一个对角阵

C.\(A\)与\(B\)有相同的特征多项式

D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)

答案：C

7.设\(A\)为\(n\)阶方阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是属于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则（）

A.对任意\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都是\(A\)的特征向量

B.存在常数\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，使\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量

C.当\(k_1=k_2=0\)时，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量

D.对任意\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都不是\(A\)的特征向量

答案：D

8.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(A\)的秩\(r(A)=r\ltn\)，则在\(A\)的\(n\)个行向量中（）

A.必有\(r\)个行向量线性无关

B.任意\(r\)个行向量线性无关

C.任意\(r\)个行向量都构成极大线性无关组

D.任意一个行向量都可由其它\(r\)个行向量线性表示

答案：A

9.设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=0\)，则（）

A.\(A\)中必有两行（列）元素对应成比例

B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合

C.\(A\)中必有一行（列）元素全为零

D.\(A\)的行（列）向量组线性无关

答案：B

10.设\(A\)是\(3\)阶方阵，将\(A\)的第\(1\)列与第\(2\)列交换得\(B\)，再把\(B\)的第\(2\)列加到第\(3\)列得\(C\)，则满足\(AQ=C\)的可逆矩阵\(Q\)为（）

A.\(\begin{pmatrix}010\\100\\011\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatri