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2025年江苏专升本高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的单调递增区间为（）

A.(∞,1)B.(1,+∞)C.(∞,1)∪(1,+∞)D.(1,1)

答案：C

解析：求导数f(x)=3x^23，令f(x)0，解得x1或x1，故单调递增区间为(∞,1)∪(1,+∞)。

2.设函数y=ln(x^22x+2)，则y的定义域为（）

A.[1,+∞)B.(∞,1]C.(2,+∞)D.(1,2)

答案：A

解析：由于对数函数的定义域要求内部大于0，故x^22x+20，解得x属于实数集，但要求x^22x+2≥1，解得x≥1，故定义域为[1,+∞)。

3.设函数f(x)=e^x+2x1，则f(x)在x=0处的极值为（）

A.0B.1C.2D.1

答案：B

解析：求导数f(x)=e^x+2，f(0)=3，f(0)=0，故f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=1。

4.设函数f(x)=sin(x)x，则f(x)在x=0处的二阶导数f(0)=（）

A.1B.1C.0D.2

答案：C

解析：求一阶导数f(x)=cos(x)1，f(0)=0，求二阶导数f(x)=sin(x)，f(0)=0。

5.设函数f(x)=(x2)e^x，则f(x)的拐点为（）

A.(2,e^2)B.(0,2)C.(2,0)D.(0,0)

答案：A

解析：求导数f(x)=e^x+(x2)e^x=xe^x，求二阶导数f(x)=(x+1)e^x，令f(x)=0，解得x=1，故拐点为(2,e^2)。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数y=x^33x^2+4的极值为______。

答案：f(1)=6，f(2)=2

解析：求导数y=3x^26x，令y=0，解得x=1或x=2，故极值为f(1)=6，f(2)=2。

7.函数y=ln(x^3+1)的定义域为______。

答案：(∞,1)∪(0,+∞)

解析：由于对数函数的定义域要求内部大于0，故x^3+10，解得x属于实数集，但要求x^3+11，解得x1或x0，故定义域为(∞,1)∪(0,+∞)。

8.函数f(x)=x^2e^x在x=0处的二阶导数f(0)=______。

答案：2

解析：求一阶导数f(x)=2xe^x+x^2e^x，f(0)=0，求二阶导数f(x)=2e^x+4xe^x+x^2e^x，f(0)=2。

9.函数f(x)=(x3)e^x在x=3处的切线方程为______。

答案：y=0

解析：f(x)=e^x+(x3)e^x，f(3)=e^3，f(3)=0，切线方程为y0=e^3(x3)，化简得y=e^3x3e^3。

10.函数f(x)=sin(x)x在x=0处的泰勒展开式为______。

答案：xx^3/6+o(x^3)

解析：泰勒展开式为f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)x^2/2!+f(0)x^3/3!+o(x^3)，代入f(x)=sin(x)x，得xx^3/6+o(x^3)。

三、解答题（每题20分，共40分）

11.设函数f(x)=e^x2x，求f(x)的单调性和极值。

解：

（1）求导数f(x)=e^x2，令f(x)=0，解得x=ln2。

（2）当xln2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln2时，f(x)0，f(x)单调递增。

（3）故f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=22ln2。

12.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的拐点。

解：

（1）求导数f(x)=3x^26x，令f(x)=0，解得x=0或x=2。

（2）求二阶导数f(x)=6x6，令f(x)=0，解得x=1。

（3）故f(x)在x=1处取得拐点，拐点为(1,2)。