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2025年湖北专升本高数二练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=e^x2x，则f(x)在x=0处的极值是（）

A.极大值1

B.极小值1

C.极大值2

D.极小值2

答案：B

解析：f(x)=e^x2，令f(x)=0得x=ln2。f(x)=e^x，f(0)=10，所以f(x)在x=0处取极小值，f(0)=1。

2.设函数y=x^33x^2+2，求y的拐点坐标是（）

A.(2,2)

B.(1,0)

C.(0,2)

D.(1,2)

答案：A

解析：y=3x^26x，y=6x6。令y=0得x=1。y(2)=2^332^2+2=2，所以拐点坐标为(2,2)。

3.设函数f(x)=x^24x+3，求f(x)的对称轴是（）

A.x=2

B.x=1

C.x=0

D.x=2

答案：A

解析：f(x)可以写成f(x)=(x2)^21，所以对称轴为x=2。

4.定积分∫(0to1)e^xdx的值是（）

A.e1

B.e

C.1

D.0

答案：A

解析：∫(0to1)e^xdx=e^x|(0to1)=e1。

5.设函数y=sin(x)+cos(x)，求y的最小正周期是（）

A.2π

B.π

C.2π/3

D.π/2

答案：A

解析：sin(x)和cos(x)的周期均为2π，所以y的最小正周期为2π。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=3x^22x+1，求f(x)=_______。

答案：6x2

解析：f(x)=6x2，f(x)=6。

2.求极限lim(x→0)(sin(x)/x)=_______。

答案：1

解析：lim(x→0)(sin(x)/x)=1。

3.求不定积分∫(x^32x^2+x)dx=_______。

答案：x^4/42x^3/3+x^2/2+C

解析：∫x^3dx=x^4/4，∫(2x^2)dx=2x^3/3，∫xdx=x^2/2。所以原式=x^4/42x^3/3+x^2/2+C。

4.设函数y=ln(x)，求y的反函数y=_______。

答案：e^y

解析：y=ln(x)的反函数为x=e^y，所以y=e^y。

5.设函数y=2x+3，求y的线性化近似式L(x)在x=1处的表达式为_______。

答案：L(x)≈5+2(x1)

解析：y=2x+3在x=1处的线性化近似式为L(x)≈2(1)+3+2(x1)=5+2(x1)。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^24x+6，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)的单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(∞,2)。

解析：f(x)=2x4，令f(x)=0得x=2。f(x)在x=2左侧为负，在x=2右侧为正，所以f(x)在[2,+∞)上单调递增，在(∞,2)上单调递减。

2.求不定积分∫(e^x/(1+e^x))dx。

答案：ln(1+e^x)+C

解析：令u=1+e^x，则du=e^xdx。原式=∫(1/u)du=ln(u)+C=ln(1+e^x)+C。

3.设函数f(x)=x^36x^2+9x1，求f(x)的拐点。

答案：拐点为(2,5)。

解析：f(x)=3x^212x+9，f(x)=6x12。令f(x)=0得x=2。f(x)在x=2左侧为负，在x=2右侧为正，所以f(x)在x=2处取得拐点。f(2)=2^362^2+921=5。