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2025年湖北省专升本高数一练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列关于f(x)的叙述正确的是（）

A.f(x)在(∞,+∞)上单调递增

B.f(x)在(∞,+∞)上单调递减

C.f(x)在(∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减

D.f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增

答案：D

解析：求导得到f(x)=3x^23，令f(x)=0，解得x=0。当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增。

2.设函数f(x)=2xsin(x)，求f(π)的值。

A.2

B.1

C.0

D.1

答案：A

解析：f(x)=2cos(x)，所以f(π)=2cos(π)=2(1)=3。

3.设函数f(x)=e^x+ln(x)，求f(1)的值。

A.2

B.3

C.1

D.0

答案：B

解析：f(x)=e^x+1/x，所以f(1)=e^1+1/1=e+1≈3。

4.设函数f(x)=x^24x+4，求f(x)的极值。

A.极大值1，极小值4

B.极大值4，极小值4

C.极大值4，极小值0

D.极大值4，极小值1

答案：B

解析：f(x)=2x4，令f(x)=0，解得x=2。f(x)=2，f(2)0，所以x=2为极小值点，f(2)=48+4=0。f(x)在(∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=4为极大值。

5.设函数f(x)=sin(x)x，求f(x)在x=0处的泰勒展开式的前三项。

A.xx^3/6

B.x+x^3/6

C.xx^3/6

D.x+x^3/6

答案：A

解析：sin(x)在x=0处的泰勒展开式为xx^3/6+O(x^5)，所以f(x)在x=0处的泰勒展开式为xx^3/6x=x^3/6。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=3x^22x+1，求f(x)=_______。

答案：6x2

2.设函数f(x)=x^33x^2+2x+1，求f(x)=_______。

答案：6x6

3.设函数f(x)=e^x+sin(x)，求f(π)=_______。

答案：3

4.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的极值点为_______。

答案：x=2

5.设函数f(x)=x^24x+4，求f(x)在x=2处的切线方程为_______。

答案：y=0

三、解答题（每题25分，共75分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间。

答案：f(x)=3x^23，令f(x)=0，解得x=0。当x0时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0时，f(x)0，f(x)单调递增。所以f(x)在(∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

2.设函数f(x)=x^24x+4，求f(x)的最大值和最小值。

答案：f(x)=2x4，令f(x)=0，解得x=2。f(x)=2，f(2)0，所以x=2为极小值点，f(2)=0。f(x)在(∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，所以f(0)=4为最大值。

3.设函数f(x)=e^x+ln(x)，求f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项。

答案：f(x)=e^x+1/x，f(x)=e^x1/x^2。f(1)=e+1，f(1)=e+1，f(1)=e1。所以f(x)在x=1处的泰勒展开式的前三项为(e+1)+(e+1)(x1)+(e1)(x1)^2/2。