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等几何无网格耦合分析方法：原理、优势与应用探索

一、引言

1.1研究背景与意义

在现代工程和科学领域，数值计算方法已成为解决复杂问题的核心工具。从航空航天领域的飞行器设计、机械工程中的结构分析，到生物医学工程里的人体组织模拟，以及地质工程中的地球物理现象研究等，数值计算方法的应用无处不在。随着科学技术的不断进步，工程和科学问题的复杂性日益增加，对数值计算方法的精度、效率和适应性提出了更高的要求。

传统的数值计算方法，如有限元法（FEM），在过去几十年中取得了巨大的成功，并广泛应用于各个领域。有限元法通过将求解区域离散为有限个单元，将复杂的连续问题转化为离散的代数方程组进行求解。然而，有限元法在处理一些复杂问题时存在一定的局限性。例如，在处理大变形、裂纹扩展、高速碰撞等问题时，由于网格的存在，会面临网格畸变、网格重构等难题，这不仅增加了计算的复杂性，还可能导致计算精度下降甚至计算失败。此外，对于具有复杂几何形状的模型，生成高质量的网格往往是一项耗时且具有挑战性的任务。

无网格法（MeshlessMethods）的出现为解决上述问题提供了新的思路。无网格法是一种在非结构化点集中离散微分算子的数值方法，其最主要的特点是不需要在空间中建立网格，而是通过在点集中建立样条函数（如修正高斯函数、径向基函数等）来进行离散化。这种方法摆脱了对网格的依赖，在处理大变形、复杂几何形状、复杂物理场等问题中具有明显优势。例如，在金属加工成型过程中，材料会发生大变形，无网格法能够准确描述材料的变形过程，而无需担心网格畸变问题；在断裂力学中，无网格法可以精确追踪裂纹的扩展路径。

等几何分析方法（IsogeometricAnalysis，IGA）则是另一种新兴的数值计算方法，它采用非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline，NURBS）形函数进行结构模型描述和计算分析，实现了工程设计中模型描述和计算分析的有机衔接。等几何分析方法有效消除了有限元离散模型的几何误差，提高了计算精度，并且可以建立具有C^1或更高阶连续性的整体协调形函数。然而，等几何分析方法采用整体参数坐标和NURBS形函数，并通过张量积方法建立多维形函数，导致加密某处网格会造成各个方向相关网格同时加密，大幅度增加了不必要的计算工作量，使得局部网格加密成为难以解决的问题，甚至比传统有限元的网格细化还要困难。

为了充分发挥无网格法和等几何分析方法的优势，克服它们各自的局限性，等几何无网格耦合分析方法应运而生。这种耦合方法将等几何分析和无网格法有机结合，实现了优势互补。在复杂几何形状的建模方面，等几何分析方法能够精确表示几何形状，而无网格法在处理局部细化和大变形问题上具有独特优势。通过耦合这两种方法，可以在保证几何模型精确描述的同时，灵活地进行局部区域的细化和处理大变形问题，提高计算效率和精度。

等几何无网格耦合分析方法在多个领域具有重要的应用价值。在航空航天领域，飞行器的结构设计和气动分析需要精确模拟复杂的几何形状和流固耦合问题，该耦合方法可以为其提供更准确的数值模拟结果，有助于优化飞行器的设计，提高其性能和安全性；在生物医学工程中，对于人体器官的力学分析和手术模拟，需要考虑复杂的几何形状和组织的大变形，等几何无网格耦合分析方法能够更真实地模拟这些生理过程，为医学研究和临床实践提供有力支持；在土木工程领域，对于大型复杂结构的分析和抗震研究，该耦合方法可以更准确地评估结构的力学性能和响应，为结构的设计和加固提供科学依据。

综上所述，等几何无网格耦合分析方法的研究对于推动工程和科学领域的发展具有重要意义，它为解决复杂问题提供了一种更有效的数值计算工具，有望在未来的工程实践和科学研究中发挥更大的作用。

1.2国内外研究现状

等几何无网格耦合分析方法作为一种新兴的数值计算方法，近年来在国内外受到了广泛关注，众多学者从理论、算法和应用等多个角度对其展开了深入研究。

在理论发展方面，国外学者起步较早。Hughes等人率先提出等几何分析方法，为等几何无网格耦合分析方法的发展奠定了重要基础。该方法采用NURBS形函数，实现了几何模型与分析模型的统一，解决了传统有限元方法中几何描述与数值计算不一致的问题。之后，Belytschko等学者对无网格法进行了大量研究，提出了多种无网格算法，如光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格伽辽金法（EFGM）等，这些算法为等几何无网格耦合分析方法提供了更多的选择和思路。例如，SPH方法最初用于解决无边界天体物理问题，后来被应用于水下爆炸数值模拟、弹丸侵彻混凝土数值模拟、高速碰撞等材料动态响应的数值模拟等领域，其无需网格的特性在处理大变形问题时具有独特优势。

国内学者在等几何无网格耦合分析方法的理论研究方面也取得了显