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2025年甘肃省（专升本）高数一考试练习题及答案

一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则方程f(x)=0在区间(0,2)内的实根个数为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：B

解析：f(x)=3x^23，令f(x)=0，得x=±1。f(1)=1，f(1)=3，f(0)=1，f(2)=3。由零点定理可知，在区间(0,2)内必有一个实根。因为f(x)在区间(0,2)内连续且单调递增，所以只有一个实根。

2.设函数f(x)=e^x+sin(x)，则f(x)在定义域内的一阶导数f(x)（）

A.恒大于0

B.恒等于0

C.恒小于0

D.有时大于0，有时小于0

答案：A

解析：f(x)=e^x+cos(x)，因为e^x恒大于0，cos(x)在定义域内取值范围为[1,1]，所以f(x)恒大于0。

3.设函数y=ln(x^2+1)，求y的二阶导数y（）

A.2/(x^2+1)

B.2/(x^2+1)^2

C.2/(x^2+1)^2

D.2/(x^2+1)

答案：C

解析：y=2x/(x^2+1)，y=(2(x^2+1)4x^2)/(x^2+1)^2=2/(x^2+1)^2。

4.设f(x)是连续函数，且f(0)=0，f(x)0，则下列结论正确的是（）

A.f(x)在x=0处取得极小值

B.f(x)在x=0处取得极大值

C.f(x)在x=0处既不取得极大值也不取得极小值

D.无法判断

答案：A

解析：因为f(x)0，所以f(x)在x=0处单调递增，且f(0)=0，所以f(x)在x=0处取得极小值。

5.设函数f(x)=x^2+kx+1，已知f(x)在x=1处取得极小值，求k的值（）

A.2

B.1

C.0

D.1

答案：A

解析：f(x)=2x+k，f(1)=2+k=0，得k=2。又因为f(x)=20，所以f(x)在x=1处取得极小值。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，则方程f(x)=0在区间(0,2)内的实根为______。

答案：1

2.设函数f(x)=e^x+sin(x)，则f(x)在定义域内的一阶导数f(x)的取值范围为______。

答案：(0,+∞)

3.设函数y=ln(x^2+1)，求y的二阶导数y=______。

答案：2/(x^2+1)^2

4.设f(x)是连续函数，且f(0)=0，f(x)0，则f(x)在x=0处取得______。

答案：极小值

5.设函数f(x)=x^2+kx+1，已知f(x)在x=1处取得极小值，则k=______。

答案：2

三、解答题（每题10分，共30分）

1.设函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间和极值。

答案：f(x)=3x^26x，令f(x)=0，得x=0或x=2。f(0)=4，f(2)=2。f(x)在区间(∞,0)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，在区间(2,+∞)内单调递增。f(x)在x=0处取得极大值4，在x=2处取得极小值2。

2.设函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求f(x)的周期。

答案：f(x)=cos(x)sin(x)，f(x)=sin(x)cos(x)。令f(x)=0，得x=π/4+kπ/2，k为整数。f(x)的周期为2π。

3.设函数f(x)=x^33x+1，求f(x)在区间(0,2)内的实根。

答案：f(0)=1，f(2)=3。由零点定理可知，f(x)在区间(0,2)内必有一个实根。因为f(x)在区间(0,2)内连续且单调递增，所以只有一个实根。通过二分法或牛顿迭代法，可求得实根x≈1。