数值分析 二分法.pptVIP

第1页，共15页，星期日，2025年，2月5日7.1方程求根与二分法一、本章解决的问题二、求根的两个步骤三、二分法第2页，共15页，星期日，2025年，2月5日一、本章解决的问题在科学计算中常要求解各种方程，这些方程看似简单，但难于求其精确解。而实际问题：只要能获得满足已定精确度的近似根就可以了。高次代数方程超越方程第3页，共15页，星期日，2025年，2月5日本章解决的问题：f(x)为非线性函数或高次代数方程，若有数x*使f(x*)=0成立，则称x*为方程f(x)=0的根(零点)。求f(x)=0的根若f(x)可分解为m是正整数，且g(x*)≠0当m=1，称x*是单根；当m1，称x*是m重根.第4页，共15页，星期日，2025年，2月5日xy0y=f(x)方程根的几何意义第5页，共15页，星期日，2025年，2月5日二、求根的两个步骤(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根)，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间”(2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。第6页，共15页，星期日，2025年，2月5日如何求有根区间呢？逐步扫描法原理：设f(x)在[a,b]连续，且f(a)f(b)0。则由连续函数的性质知f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)=0在(a,b)上有且仅有一个根。第7页，共15页，星期日，2025年，2月5日xyy=f(x)0故总假设(a,b)上有唯一根第8页，共15页，星期日，2025年，2月5日逐步扫描算法(1)x0←a；(2)若f(x0)f(x0+h)0，则x*必在(x0,x0+h)中，取x0或x0+h作为有根区间，否则转(3);(3)x0←x0+h，转(2)；第9页，共15页，星期日，2025年，2月5日例如考虑方程解由于故方程至少有一个正实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长向右计算，将各个点上的函数值列于下表：x00.51.01.5f(x)―――+第10页，共15页，星期日，2025年，2月5日由于,且f(x)在区间[1，1.5]上满足由此可知在(1，1.5)内有且仅有一个实根，故可取作为有根区间。(1，1.5)第11页，共15页，星期日，2025年，2月5日