中学数学函数专题拓展练习题.docxVIP

中学数学函数专题拓展练习题

函数作为中学数学的核心内容，贯穿于代数、几何乃至后续的概率统计学习中。它不仅是描述变量之间依赖关系的数学模型，更是培养逻辑思维、抽象思维和解决实际问题能力的重要载体。本专题旨在通过一系列具有代表性的拓展练习题，帮助同学们深化对函数概念的理解，熟练掌握基本函数的图像与性质，并提升综合运用函数知识解决复杂问题的能力。

一、函数概念与表示方法的深化

函数的概念是基石，清晰、准确地理解函数的定义、定义域、值域以及函数的表示方法，是学好函数的前提。

例题1：

判断下列说法是否正确，并简述理由。

(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数一定是同一个函数。

(2)函数\(y=x\)与函数\(y=\sqrt{x^2}\)是同一个函数。

(3)已知函数\(f(x)\)的定义域为\([0,2]\)，则函数\(f(x+1)\)的定义域为\([1,3]\)。

思路点拨：此类问题的关键在于紧扣函数的定义：构成函数的三要素是定义域、对应法则和值域，其中核心是定义域和对应法则。值域由定义域和对应法则共同确定。对于抽象函数定义域的求解，要理解“括号内整体的取值范围是相同的”这一核心思想。

例题2：

已知函数\(f(x)\)满足\(f(2x-1)=4x^2-2x\)，求函数\(f(x)\)的解析式。

思路点拨：求解函数解析式的方法有多种，如代入法、换元法、待定系数法等。本题可考虑使用换元法，设\(t=2x-1\)，解出\(x\)关于\(t\)的表达式，再代入右边的式子，从而得到\(f(t)\)的表达式，进而得到\(f(x)\)。也可尝试对右边的表达式进行配凑，使其呈现出关于\((2x-1)\)的代数式。

二、基本函数的图像与性质拓展

对一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数的图像特征和性质的深入理解与灵活应用，是解决复杂函数问题的基础。

例题3：

已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)(其中\(a\neq0\))的图像经过点\((1,0)\)，对称轴为直线\(x=-1\)，且与\(y\)轴交于正半轴。

(1)试判断\(a\)、\(b\)、\(c\)的符号。

(2)若该函数图像与\(x\)轴的另一个交点为\(A\)，与\(y\)轴交点为\(B\)，求\(\triangleOAB\)的面积(用含\(a\)的代数式表示，\(O\)为坐标原点)。

思路点拨：二次函数的图像与性质是考察的重点。对于(1)，可结合开口方向（由\(a\)决定）、对称轴位置（\(-b/(2a)\)）、与坐标轴交点（代入点坐标）来综合判断系数符号。对于(2)，已知一个交点和对称轴，可利用对称性求出另一个交点坐标，再求出与\(y\)轴交点坐标，进而计算三角形面积。

例题4：

已知一次函数\(y_1=kx+b\)与反比例函数\(y_2=m/x\)的图像交于点\(A(1,4)\)和点\(B(-2,n)\)。

(1)求这两个函数的解析式。

(2)根据图像直接写出当\(y_1y_2\)时，\(x\)的取值范围。

(3)点\(P\)是线段\(AB\)上一点，过点\(P\)作\(PE\perpx\)轴于点\(E\)，交反比例函数图像于点\(F\)，求线段\(PF\)长度的最大值。

思路点拨：第(1)问是基础，利用交点坐标代入解析式即可求解。第(2)问考察数形结合思想，需准确画出图像，观察在哪些区间一次函数图像在反比例函数图像上方。第(3)问有一定综合性，可设出点\(P\)的横坐标，表示出\(P\)、\(F\)两点的坐标，进而得到\(PF\)的长度关于\(x\)的函数表达式，再求其最大值（注意\(x\)的取值范围是线段\(AB\)对应的横坐标范围）。

三、函数与方程、不等式的综合应用

函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，利用函数的观点可以更深刻地理解方程和不等式。

例题5：

已知关于\(x\)的方程\(x^2-(m+2)x+(2m-1)=0\)。

(1)求证：无论\(m\)取何值，方程总有两个不相等的实数根。

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长。

思路点拨：第(1)问考察一元二