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42届imo试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数f(x)=x3-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】f(x)=3x2-a，f(1)=3-a=0，解得a=3。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+b2-c2=ab，则cosC的值为（）（2分）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

【答案】A

【解析】由余弦定理，cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=ab/(2ab)=1/2。

3.某班级有50名学生，其中男生30名，女生20名，现要随机选出3名学生组成一个小组，则选出的小组中恰好包含1名女生的概率为（）（2分）

A.1/125B.3/25C.2/5D.3/10

【答案】C

【解析】C(30,2)C(20,1)/(C(50,3))=(3029/2)20/(504948/6)=2/5。

4.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1=1，a_n=3a_(n-1)+2，则S_5的值为（）（2分）

A.121B.123C.125D.127

【答案】B

【解析】a_n=3^(n-1)+2，S_5=(3^0+3^1+...+3^4)+25=(3^5-1)/2+10=121+2=123。

5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】分段函数，当-2≤x≤1时，f(x)取最小值3。

6.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面x+y+z=1的对称点Q的坐标为（）（2分）

A.(0,0,0)B.(1,1,1)C.(2,2,2)D.(3,3,3)

【答案】B

【解析】Q为P关于平面的垂足，垂足坐标为(1/3,2/3,3/3)=(1/3,1/3,1/3)，再利用对称性得Q(1,1,1)。

7.设z=(1+i)^(2022)，则z的虚部为（）（2分）

A.0B.1C.-1D.2022

【答案】A

【解析】z=(1+i)^2^1011=2^1011(cos(π/4+2kπi)+isin(π/4+2kπi))，虚部为0。

8.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_3+a_5=15，a_2+a_4+a_6=21，则该数列的公差为（）（2分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】a_1+a_3+a_5=3a_1+6d=15，a_2+a_4+a_6=3a_1+9d=21，解得d=1。

9.圆x2+y2-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）（2分）

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(2,-3)D.(-2,3)

【答案】C

【解析】配方得(x-2)2+(y+3)2=16，圆心为(2,-3)。

10.已知抛物线y2=2px的焦点到准线的距离为2，则p的值为（）（2分）

A.1B.2C.4D.8

【答案】B

【解析】p/2=2，解得p=4。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）

A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a2b2

C.若A?B，B?C，则A?CD.若f(x)是奇函数，则f(0)=0

【答案】A、C

【解析】B不正确，如a=1b=-2，但a2=1b2=4；D不正确，如f(x)=x/2是奇函数，但f(0)=0。

2.关于函数f(x)=sin(x+π/6)的说法正确的有（）（4分）

A.周期为2πB.图象关于x=π/6对称

C.在(π/2,π)上是增函数D.最大值为1

【答案】A、D

【解析】B不正确，对称轴为x=π/6+kπ；C不正确，该区间对应减函数。

3.在△ABC中，若f(A)=BC/AC，g(B)=AC/AB，则f(A)+g(B)的值（）（4分）

A.可能小于1B.可能等于1C.可能大于1D.一定大于1

【答案】A、B、C

【解析】由正弦定理f(A)=sinB/g(B)，其范围(0,1)，故ABC为钝角时小于1，直角时等于1，锐角时大于1。

4.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的有（）（4分）

A.y=x2B.y=log?xC.y=√xD.y=e^x

【答案】A、C、D

【解析】B在(0,1)上是减函数。

5.已知函数f(x)=x3-px+1在x=1和x=-1处取得相反数，则p的值为（）（4分）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B、C

【解析】f(1)=-f(-1)，即1-p+1=-(1+p)+1，解得p=2；或f(-1)=-f(1)，即-1+p+1=-(1-p)+1，解得p=2。

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z的代数形式为______。（4分）

【答案】√3+i（4分）

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2=b2+c2-bc，