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第1页，共17页，星期日，2025年，2月5日复习回顾讲授新课巩固新课§9.4.2三垂线定理及其逆定理PCBA导入新课第2页，共17页，星期日，2025年，2月5日A1B1C1ADD1BC如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的斜线。思考：1、直线BD,AC和BD1之间有怎样的位置关系？2、总结：第3页，共17页，星期日，2025年，2月5日三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。O?aAP已知：PO、PA分别是平面?的垂线、斜线，AO是PO在平面?上的射影。a??，a⊥AO。求证：a⊥pA第4页，共17页，星期日，2025年，2月5日O?aAP证明：a⊥PAa⊥平面PAOPA?平面PAOPO⊥?a??AO⊥aPO⊥aPO∩AO=O第5页，共17页，星期日，2025年，2月5日小结：O?aAP定理中需要“一面、四线、三垂直”三垂线定理的实质是空间两直线垂直的判定定理（思想的转化）垂线最重要线射垂直线斜垂直第6页，共17页，星期日，2025年，2月5日PAOaα问题：三垂线定理中包含那些垂直关系？线面垂直线斜垂直线射垂直第7页，共17页，星期日，2025年，2月5日注意：直线a一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。a例如：当b⊥?时，b⊥OA探讨：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但b不垂直于OPbPAOα第8页，共17页，星期日，2025年，2月5日PCBA例1已知P是平面ABC外一点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：PC⊥BC证明：∵P是平面ABC外一点PA⊥平面ABC∴PC是平面ABC的斜线∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC?平面ABC且AC⊥BC∴由三垂线定理得PC⊥BC第9页，共17页，星期日，2025年，2月5日三垂线定理解题的关键：找“三垂”一、找线面垂直二、找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直解题回顾PAOaα第10页，共17页，星期日，2025年，2月5日线射垂直线斜垂直PAOaαPAOaα平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理？第11页，共17页，星期日，2025年，2月5日在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOaα已知：PA，PO分别是平面?的垂线和斜线，AO是PO在平面?的射影,a??,a⊥PO求证：a⊥AO三垂线定理的逆定理第12页，共17页，星期日，2025年，2月5日
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