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精讲数学知识7：函数的概念和性质

[函数的概念]

一般地，设、B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个

数x，按照某种确定的对应关系/，在集合B中都有唯一确定的数了

和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到B的一个函数(function)，

记作yf(x)，xϵA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);

与x的值对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xϵ4}叫做函数

的值域(range),显然，值域是集合B的子集.

[定义域]

求函数的定义域时，，一般遵循以下原则:

1、f(x)是整式，全体实数R

2、f(x)是分式函数，使分母不为零的一切实数

3、f(x)是偶次根式，使被开方式为非负值时的实数的集合

4、零(负)指数幂，底数不能为零

5、对数函数，真数大于零

6、ytanx，X≠kπ+(kϵZ)

补充说明:

若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则

其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.

求复合函数定义域问题，若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合

函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出

·对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对

字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有

意义外，还要符合问题的实际意义。

【函数的值域与最值】

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是

函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，求

函数值域与最值的常用方法:

观察法:对于比较简单的函数可以通过观察直接得到值域或最

值,ykx+b(k≠0).

数形结合:利用函数的图象确定函数的值域和最值,yk/x(k≠

0).

配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然

后根据自变量的取值范围确定函数的值域或最值.yax+bx+c(a≠

0).

分离常数:将函数转化为y2+3/(x-1),利用反比例函数的平移变

换画出图象，然后根据自变量的取值范围确定函数的值域或最值

y(2x+1)/(x-1)

换元法:通过变量代换可实现化繁为简,令√x+1t,(t≥l),将函

数转化为关于t的二次函数,注意”t”的取值范围,y2x-√x+1.

[函数的表示方法]

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种。

解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系。

[单调性的常用结论]

函数-f(x)与函数f(x)的单调性相反;

函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;

当c0时，函数f(x)与c/(x)具有相同的单调性;当c0时，它

们具有相反的单调性;若f(x)0(或f(x)0)，则函数f(x)与1/f(x)

具有相反的单调性;

若f(x)0，则函数f(x)与具有、f(x)相同的单调性;

若f(x)，g(x)具有相同的单调性，则f(x)+g(x)也具有相同的单

调性;

若f(x)，g(x)具有相反的单调性，则f(x)-g(x)具有与f(x)相

同(与g(x)相反)的单调性。

[奇偶函数的基本性质]

若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0;

若函数f(x)即是奇函数，又是偶函数，则f(x)0，且定义域关

于原点对称;若函数f(x)为偶函数，则f(x)f(lxl)

【规律总结】

图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图

象。

过定点:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点

(1,1)单调性:若α0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞)上为

增函数若α0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,在第一象限内

无限接近x轴与y轴奇偶性:当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α

为偶数时，幂函数为偶函数.

分段函数与复合函数

[分段函数的定义]

在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着