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由递推关系求通项公式的类型与方法

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递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2021年高考数学19份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。不能不感受到高考数学试题中“递推”之风的强劲。为此本文主要以2021年试题为例重点研究由递推关系求数列通公式的类型与求解策略。

一、递推关系形如：的数列

利用迭加或迭代法得：，（）

例1（08天津文20）在数列中，，，且（）．

（Ⅰ）设（），证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）略

（Ⅰ）证明：由题设（），得

，即，．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，

，（）．

所以当时，上式对显然成立．

二、递推关系形如：的数列

利用迭乘或迭代法可得：，（）

例2（2021天津理22）在数列与中，，数列的前项和满足,为与的等比中项，.

（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；

解：（Ⅰ）易得，．

（Ⅱ）由题设①

（）时②

①式减去②式，整理得，即，所以

时，

此式对也成立．

由题设有，所以，即，．

令，则，即．由得，．所以，即，．

三、递推关系形如：（p,q为常数且，）的数列（线性递推关系）

利用不动点求出的根，递推关系可化为，利用等比数列求出的表达式，进而求出

例3（2021安徽文21）设数列满足其中为实数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式

解：

当时，是首项为，公比为的等比数列。

，即。当时，仍满足上式。

数列的通项公式为。

四、递推关系形如：（,为常数且，）的数列

令与比较解出系数x，y构造等比数列

例4（08湖北理21）已知数列和满足,其中为实数，为正整数，求数列、的通项公式（稍加改编）

解：①令整理后与①式比较对应项系数得,

,

五、递推关系形如：的数列（为常数且）

常化为，利用第三种类型求出后解出；

例5．（2021四川理20）设数列的前项和为，已知

（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；

（Ⅱ）求的通项公式

解：由题意知，且

两式相减得

即①

（Ⅰ）略

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即

当时，由①得

因此

得

六、递推关系形如：（为常数且）的数列

可化为=求出的表达式，再求

例6．（2021年山东理19）将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

……

记表中的第一列数构成的数列为，．为数列的前项和，且满足．

（Ⅰ）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；

解：（Ⅰ）证明：由已知，当时，，又，

所以，

又．所以数列是首项为1，公差为的等差数列．

由上可知，．

所以当时，．因此

七、递推关系形如：或的数列

可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的第三类方法解决。

例7（2021年高考陕西理22）已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

解：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

八、Sn法求与前n项和Sn有关的数列通项时，通常用公式作为桥梁，将Sn转化为的关系式求或将转化为Sn的关系式先求Sn进而求得。

例8、（2021年全国Ⅱ20）设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

解：（Ⅰ）依题意，，即，

由此得．因此，所求通项公式为，．

九：数学归纳法

例9、（2021辽宁理21）在数列中,,且成等差数列,成等比数列.

⑴求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;

解析：（Ⅰ）由条件得由此可得

．猜测．

用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立．

②假设当n=k时，结论成立，即，

那么当n=k+1时，．

所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．

由递推公式求通项公式的方法

已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。

一、型数列，（其中不是常值函数)

此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有

将上述个式