同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章-函数与极限(完整版)资料.docVIP

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函数与极限

教学目的：

理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

掌握基本初等函数的性质及其图形。

理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

掌握极限的性质及四则运算法则。

了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：

复合函数及分段函数的概念；

基本初等函数的性质及其图形；

极限的概念极限的性质及四则运算法则；

两个重要极限；

无穷小及无穷小的比较；

函数连续性及初等函数的连续性；

区间上连续函数的性质。

教学难点：

分段函数的建立与性质；

左极限与右极限概念及应用；

极限存在的两个准则的应用；

间断点及其分类；

闭区间上连续函数性质的应用。

§1.1映射与函数

一、集合

1.集合概念

集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.

元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a?M.

集合的表示:

列举法:把集合的全体元素一一列举出来.

例如A={a,b,c,d,e,f,g}.

描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为

A={a1,a2,×××,an},

M={x|x具有性质P}.

例如M={(x,y)|x,y为实数,x2+y2=1}.

几个数集:

N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.

N={0,1,2,×?×?×,n,×?×?×}.N+={1,2,×?×?×,n,×?×?×}.

R表示所有实数构成的集合,称为实数集.

Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.

Z={×?×?×,-n,×?×?×,-2,-1,0,1,2,×?×?×,n,×?×?×}.

Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.

子集:若x?A,则必有x?B,则称A是B的子集,记为AìB(读作A包含于B)或BéA.

如果集合A与集合B互为子集,AìB且BìA,则称集合A与集合B相等,记作A=B.

若AìB且A1B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.

不含任何元素的集合称为空集,记作?.规定空集是任何集合的子集.

2.集合的运算

设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AèB,即

AèB={x|x?A或x?B}.

设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作A?B,即

A?B={x|x?A且x?B}.

设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即

A\B={x|x?A且x?B}.

如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.

集合运算的法则:

设A、B、C为任意三个集合,则

(1)交换律AèB=BèA,A?B=B?A;

(2)结合律(AèB)èC=Aè(BèC),(A?B)?C=A?(B?C);

(3)分配律(AèB)?C=(A?C)è(B?C),(A?B)èC=(AèC)?(BèC);

(4)对偶律(AèB)C=AC?BC,(A?B)C=ACèBC.

(AèB)C=AC?BC的证明: