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组合分解数学题目及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.以下哪个选项是正确的组合公式？

A.\(C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

B.\(C(n,k)=\frac{k!}{n!(n-k)!}\)

C.\(C(n,k)=\frac{n!}{k!k!}\)

D.\(C(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!k!}\)

答案：A

2.组合数\(C(10,5)\)的值是多少？

A.252

B.210

C.120

D.126

答案：A

3.如果有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方式？

A.60

B.120

C.150

D.210

答案：B

4.以下哪个选项是正确的排列公式？

A.\(P(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

B.\(P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}\)

C.\(P(n,k)=\frac{k!}{n!(n-k)!}\)

D.\(P(n,k)=\frac{n!}{k!k!}\)

答案：B

5.排列数\(P(6,3)\)的值是多少？

A.120

B.720

C.360

D.210

答案：A

二、填空题（每题3分，共15分）

6.组合数\(C(8,3)\)的值是_______。

答案：56

7.如果有4种不同的水果，从中选择2种，不同的选择方式有_______种。

答案：6

8.排列数\(P(7,4)\)的值是_______。

答案：840

9.将7本书分给3个人，每人至少得到一本书的不同分配方式有_______种。

答案：210

10.从10个不同的项目中选择3个进行排列，不同的排列方式有_______种。

答案：720

三、简答题（每题10分，共30分）

11.计算组合数\(C(12,4)\)的值。

答案：495

12.计算排列数\(P(9,5)\)的值。

答案：15120

13.有8个不同的球和2个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的分配方式？

答案：56种

四、证明题（每题15分，共30分）

14.证明组合恒等式\(C(n,k)=C(n,n-k)\)。

证明：根据组合数的定义，\(C(n,k)\)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式数目。同样地，\(C(n,n-k)\)表示从n个不同元素中选取n-k个元素的组合方式数目。由于选取k个元素的同时，剩下的就是n-k个元素，所以这两种选取方式是等价的，因此\(C(n,k)=C(n,n-k)\)。

15.证明排列恒等式\(P(n,k)\cdotP(k,k)=P(n,n)\)。

证明：根据排列数的定义，\(P(n,k)\)表示从n个不同元素中选取k个元素进行排列的方式数目，而\(P(k,k)\)表示从k个不同元素中选取k个元素进行排列的方式数目，即\(P(k,k)=k!\)。因此，\(P(n,k)\cdotP(k,k)=P(n,k)\cdotk!\)。另一方面，\(P(n,n)\)表示从n个不同元素中选取n个元素进行排列的方式数目，即\(P(n,n)=n!\)。由于\(P(n,k)\)实际上是从n个元素中选取k个元素进行排列，然后剩下的n-k个元素自然形成排列，所以\(P(n,k)\cdot(n-k)!=n!\)。因此，\(P(n,k)\cdotk!=n!\)，即\(P(n,k)\cdotP(k,k)=P(n,n)\)。

五、应用题（每题20分，共20分）

16.一个班级有30名学生，需要选出5名学生组成一个委员会。如果委员会中必须有至少一名男生和至少一名女生，班级中有18名男生和12名女生，那么有多少种不同的组成方式？

答案：首先计算总的组合数\(C(30,5)\)，然后减去全部是男生或全部是女生的组合数。总的组合数为\(C(30,5)=142506\)。全部是男生的组合数为\(C(18,5)=8568\)，全部是女生的组合数为\(