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线性代数自考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，则\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)的值为（）

A.-2B.2C.-10D.10

答案：A

解析：\(\vertA\vert=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。

2.设向量\(\alpha=(1,2,3)\)，\(\beta=(2,1,0)\)，则\(\alpha\cdot\beta\)等于（）

A.4B.5C.6D.7

答案：A

解析：\(\alpha\cdot\beta=1\times2+2\times1+3\times0=2+2+0=4\)。

3.若\(n\)阶方阵\(A\)满足\(A^2=A\)，则\(A\)的特征值可能是（）

A.0和1B.0和-1C.1和-1D.2和1

答案：A

解析：设\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\alpha\)是对应的特征向量，则\(A\alpha=\lambda\alpha\)，\(A^2\alpha=\lambda^2\alpha\)，又\(A^2=A\)，所以\(\lambda^2\alpha=\lambda\alpha\)，即\(\lambda^2-\lambda=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=1\)。

4.已知向量组\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)线性相关，则\(t\)的值为（）

A.4B.5C.6D.7

答案：B

解析：对向量组构成的矩阵进行初等行变换，\(\begin{pmatrix}111\\123\\13t\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}111\\012\\02t-1\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}111\\012\\00t-5\end{pmatrix}\)，因为线性相关，所以\(t-5=0\)，即\(t=5\)。

5.矩阵\(A=\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\)的逆矩阵\(A^{-1}\)为（）

A.\(\begin{pmatrix}100\\0\frac{1}{2}0\\00\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}010\\00\frac{1}{2}\\\frac{1}{3}00\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}100\\0\frac{1}{2}0\\003\end{pmatrix}\)

答案：A

解析：对于对角矩阵\(A=\begin{pmatrix}a_{11}00\\0a_{22}0\\00a_{33}\end{pmatrix}\)，其逆矩阵\(A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{a_{11}}00\\0\frac{1}{a_{22}}0\\00\frac{1}{a_{33}}\end{pmatrix}\)，这里\(a_{11}=1,a_{22}=2,a_{33}=3\)，所以\(A^{-1}=\begin{pmatrix}100\\0\frac{1}{2}0\\00\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)。

6.设\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，\(r(A)=r\)，则方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量的个数为（）

A.\(m-r\)B.\(n-r\)C.\(r\)D.\(m+n-r\)

答案：B

解析：根据线性方程组解的结构定理，\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为\(n-r(A)\)，已知\(r(A)=r\)，所以是\(n-r\)。

7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩阵为（）

A.\(\begin{pmatrix}110\\120\\003\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}100\\020\\003\end{pmatrix}\)C.