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由两点三次Hermite插值多项式可知,在区间上的表达式为若在整个区间上定义一组分段三次插值基函数及,则可表示为第30页，共53页，星期日，2025年，2月5日其中分别表示为第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日同样可导出分段三次Hermite插值的误差估计为：其中,.分段三次Hermite插值函数是插值区间上的光滑函数，它与函数在节点处密合程度较好。第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日§6三次样条插值问题的提出:分段低次插值函数虽都有一致收敛性，但光滑性较差.早期工程师制图时,把富有弹性的细长木条(所谓样条)用压铁固定在样点上,在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点，即样点，上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到“数学样条”这一概念.第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日三次样条函数:定义:是给定节点，若(1);(2)在每个小区间上是三次多项式，则称是节点上的三次样条函数.若在节点上给定函数值并成立则称为三次样条插值函数.第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日在区间上为三次多项式,故要确定4个待定系数,共有n个小区间,故应确定4n个参数.由知,在节点处应满足连续性条件:共有3n-3个条件，再加上满足插值条件共有4n-2个条件,故还需要2个条件才能确定.第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日通常可在区间端点上各加一个条件(称为边界条件),可根据实际问题的要求给定.常见的有以下三种：1°已知两端的一阶导数值，即2°已知两端的二阶导数值，即自然边界条件:第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日3°当是以为周期的周期函数时，则要求也如此,这时边界条件应满足此时,这样确定的样条函数称为周期样条函数.第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日三转角方程:构造满足:(1)(2)连续性条件+边界条件.若假定则由分段三次埃尔米特插值公式可得其中是插值基函数。第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日第1页，共53页，星期日，2025年，2月5日求解的思想：这里给出了2n+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式,其形式为如根据上面的条件来确定2n+2个系数显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.先求插值基函数及，共有个2n+2，每一个基函数都是2n+1次多项式，且满足条件第2页，共53页，星期日，2025年，2月5日其中,
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