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圆锥曲线奥赛题目及答案

一、选择题（共30分）

1.（6分）设椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(ab0\)，若椭圆上存在一点\(P(x_0,y_0)\)，使得\(\frac{y_0}{x_0}=\frac{b}{a}\)，则该椭圆的离心率为：

A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)

D.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)

答案：B

2.（6分）已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{b}{a}x\)，若该双曲线的离心率为\(e\)，则\(e\)的值为：

A.\(\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)

B.\(\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)

C.\(\sqrt{2+\frac{b^2}{a^2}}\)

D.\(\sqrt{2+\frac{a^2}{b^2}}\)

答案：A

3.（6分）设抛物线\(y^2=4ax\)的焦点为\(F\)，若点\(P\)在抛物线上，且\(PF\)垂直于抛物线的准线，则点\(P\)的横坐标为：

A.\(a\)

B.\(2a\)

C.\(3a\)

D.\(4a\)

答案：B

4.（6分）对于椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，若椭圆上存在点\(P\)和\(Q\)，使得\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=0\)，则椭圆的离心率\(e\)的范围为：

A.\(0e\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B.\(0e\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.\(0e1\)

D.\(\frac{\sqrt{2}}{2}e1\)

答案：D

5.（6分）已知抛物线\(y^2=2px\)的焦点为\(F\)，若过焦点\(F\)的直线与抛物线交于点\(A\)和\(B\)，且\(|AB|=p+4\)，则\(p\)的值为：

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：C

二、填空题（共20分）

6.（4分）若椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(e\)，则该椭圆的准线方程为\(\boxed{x=\pm\frac{a}{e}}\)。

7.（4分）双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的一条渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，若该双曲线的离心率为\(e\)，则\(e^2=\boxed{1+\frac{b^2}{a^2}}\)。

8.（4分）抛物线\(y^2=4ax\)的焦点坐标为\(\boxed{(a,0)}\)。

9.（4分）若椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(e\)，则该椭圆的离心率\(e\)满足\(\boxed{0e1}\)。

10.（4分）对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，若其一条渐近线方程为\(y=\frac{b}{a}x\)，则该双曲线的离心率\(e\)满足\(\boxed{e1}\)。

三、解答题（共50分）

11.（10分）已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(ab0\)，求证：若椭圆上存在点\(P(x_0,y_0)\)，使得\(\frac{y_0}{x_0}=\frac{b}{a}\)，则该椭圆的离心率\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)。

证明：由题意知，点\(P(x_0,y_0)\)在椭圆上，因此有\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)。又因为\(\frac{y_0}{x_0}=\frac{b}{a}\)，所以\(y_0=\frac{b}{a}x_0\)。将\(y_0\)代入椭圆方程，得到\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{(\fra