重积分的对称性与轮换对称性.pptVIP

微固讲师团重积分的对称性与轮换对称性第1页，共21页，星期日，2025年，2月5日对称性对于二重积分的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当f(x)在区间上为连续的奇函数时,当f(x)在区间上为连续的偶函数时,第2页，共21页，星期日，2025年，2月5日这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的。下面，我们将此结论类似地推广到二重积分第3页，共21页，星期日，2025年，2月5日解：第4页，共21页，星期日，2025年，2月5日积分区域D关于坐标区域内任意直线对称如果积分域D关于直线y=ax+b对称，则二重积分其中D1为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分第5页，共21页，星期日，2025年，2月5日第6页，共21页，星期日，2025年，2月5日证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a0，即倾斜角为锐角.首先，平移坐标轴，得坐标系xoy如上图即第7页，共21页，星期日，2025年，2月5日其次，将坐标系xoy沿逆时针方向旋转，旋转角为(tan=a)使x轴与直线y=ax+b重合．得新坐标系uov第8页，共21页，星期日，2025年，2月5日第9页，共21页，星期日，2025年，2月5日第10页，共21页，星期日，2025年，2月5日雅可比行列式为:即证第11页，共21页，星期日，2025年，2月5日第12页，共21页，星期日，2025年，2月5日解：由于积分区域D关于直线x=1对称，被积函数在区域D上关于（x-1）为奇函数y在区域D上关于（x-1）为偶函数第13页，共21页，星期日，2025年，2月5日补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．第14页，共21页，星期日，2025年，2月5日第15页，共21页，星期日，2025年，2月5日微固讲师团