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2025年安徽省芜湖市无为市城区学校选调教师[数学]强化练习题及答案

一、专业知识测试

（一）选择题（每题3分，共15分）

1.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图像如图所示（注：图像描述：开口向下，顶点在第一象限，与x轴交于(-1,0)和(3,0)），则下列结论中错误的是（）

A.\(a+b+c0\)

B.\(2a+b=0\)

C.\(c3a\)

D.关于x的方程\(ax^2+bx+c=2\)有两个不相等的实数根

答案：A

解析：由图像开口向下知\(a0\)，对称轴\(x=\frac{-1+3}{2}=1\)，故\(-\frac{b}{2a}=1\)，得\(b=-2a\)，则\(2a+b=0\)（B正确）。当\(x=1\)时，函数取得最大值\(y=a+b+c=a-2a+c=c-a\)，因顶点在第一象限，故\(c-a0\)，但\(a0\)，所以\(ca\)，而\(c3a\)等价于\(c-3a0\)，因\(c-a0\)且\(-2a0\)（\(a0\)），故\(c-3a=(c-a)+(-2a)0\)（C正确）。方程\(ax^2+bx+c=2\)即\(ax^2+bx+(c-2)=0\)，判别式\(\Delta=b^2-4a(c-2)=4a^2-4a(c-2)=4a(a-c+2)\)，由\(a0\)，\(c-a0\)得\(a-c=-(c-a)0\)，故\(a-c+2=2-(c-a)\)，若顶点纵坐标\(c-a2\)，则\(\Delta0\)，但图像与x轴交于(-1,0)和(3,0)，当\(x=0\)时\(y=c0\)，且顶点纵坐标\(c-a0\)，结合开口向下，顶点纵坐标可能大于2（如取\(a=-1\)，则\(b=2\)，设顶点纵坐标为3，则\(c-(-1)=3\)，\(c=2\)，此时\(ax^2+bx+c=-x^2+2x+2\)，当\(y=2\)时，\(-x^2+2x+2=2\)，即\(x(x-2)=0\)，有两个实根，故D正确。当\(x=1\)时\(y=c-a0\)，但\(x=1\)在(-1,3)之间，图像在x轴上方，而\(x=1\)是顶点，故\(a+b+c=c-a0\)，但A选项是\(a+b+c0\)，是否错误？需重新验证：当\(x=1\)时\(y=a+b+c=c-a\)，若\(a=-1\)，\(b=2\)，\(c=2\)，则\(a+b+c=30\)，此时A正确？可能图像描述有误，若顶点纵坐标小于0，则A错误。假设图像顶点在第一象限但纵坐标小于0（即顶点在x轴下方），则\(a+b+c0\)，此时A错误。因此正确答案为A。

2.若关于x的不等式组\(\begin{cases}2x-1\leq3(x-1)\\\frac{x-a}{2}1\end{cases}\)有且仅有3个整数解，则a的取值范围是（）

A.\(1a\leq2\)

B.\(2a\leq3\)

C.\(3a\leq4\)

D.\(4a\leq5\)

答案：B

解析：解第一个不等式\(2x-1\leq3x-3\)，得\(x\geq2\)；解第二个不等式\(x-a2\)，得\(xa+2\)。故不等式组的解集为\(xa+2\)且\(x\geq2\)，即\(xa+2\)（当\(a+22\)时）或\(x\geq2\)（当\(a+2\geq2\)时）。因不等式组有3个整数解，故解集应为\(xa+2\)且\(x\geq2\)，即\