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等差数列教案

学科：高中数学年级：高一课时：1课时

一、教学目标

知识与技能

理解等差数列的定义，能准确判断一个数列是否为等差数列。

掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决通项求解、项数计算等问题。

过程与方法

通过实例观察、归纳总结，培养抽象概括和逻辑推理能力。

经历“观察—猜想—证明—应用”的过程，体会数学建模思想。

情感态度与价值观

感受数学与生活的联系（如等差数列在历法、储蓄中的应用），激发学习兴趣。

二、教学重难点

重点：等差数列的定义和通项公式。

难点：通项公式的推导过程及灵活应用。

三、教学准备

多媒体课件（含实例图片、练习题）、板书设计框架。

四、教学过程

（一）情境导入（5分钟）

实例引入：展示3组数列，引导学生观察规律：

①2，4，6，8，10，…（相邻两项差为2）

②1，4，7，10，13，…（相邻两项差为3）

③20，15，10，5，0，…（相邻两项差为-5）

提问：这些数列有什么共同特征？（引导学生发现“从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数”）

（二）新知探究（15分钟）

等差数列的定义

给出定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

符号表示：对于数列\(\{a_n\}\)，若\(a_n-a_{n-1}=d\)（\(n\geq2\)，\(n\in\mathbf{N}^*\)，d为常数），则\(\{a_n\}\)是等差数列。

即时练习：判断下列数列是否为等差数列，若是，求出公差d：

①3，3，3，3，…（是，\(d=0\)）

②1，2，4，7，11，…（否，差不恒定）

等差数列的通项公式推导

已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公差为d，求通项公式\(a_n\)。

引导学生写出前几项：\(a_1=a_1\)\(a_2=a_1+d\)\(a_3=a_2+d=a_1+2d\)\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)

猜想：\(a_n=a_1+(n-1)d\)（通过归纳法得出）。

验证：用递推关系证明（数学归纳法初步思路，结合定义说明合理性）。

（三）例题讲解（10分钟）

例1：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=5\)，\(d=3\)，求\(a_{10}\)。解：由通项公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，得\(a_{10}=5+(10-1)\times3=5+27=32\)。

例2：已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_5=15\)，\(a_8=24\)，求首项\(a_1\)和公差d。解：根据通项公式列方程组：\(\begin{cases}a_1+4d=15\\a_1+7d=24\end{cases}\)解得：\(d=3\)，\(a_1=15-4\times3=3\)。

（四）课堂练习（7分钟）

等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(d=-2\)，则\(a_6=\)______。（答案：-8）

等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=7\)，\(a_5=13\)，则公差\(d=\)，\(a_7=\)。（答案：3；19）

（五）课堂小结（3分钟）

等差数列定义：\(a_n-a_{n-1}=d\)（常数）。

通项公式：\(a_n=a_1+(n-1)d\)（知三求一：\(a_n,a_1,n,d\)中已知三个可求第四个）。

数学方法：观察归纳、方程思想。

五、作业布置

教材习题：练习A组第1、3题（基础题，巩固定义和公式）。

拓展题：已知等差数列中，\(a_m=p\)，\(a_n=q\)（\(m\neqn\)），求公差d和\(a_{m+n}\)。

六、板书设计

展开过程

教学反思：需关注学生对“公差可正可负可零”的理解，以及通项公式中“n-1”的含义辨析，后续可增加生活应用题强化应用意识。