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2008年imo考试试题及答案

2008年IMO考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1.已知函数\(f(x)=x^2-4x+3\)，求\(f(2)\)的值。

A.1

B.3

C.5

D.7

答案：B

解析：将\(x=2\)代入函数\(f(x)\)中，得到\(f(2)=2^2-4\times2+3=4-8+3=-1\)。因此，正确答案为B。

2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1=3\)，公差\(d=2\)，求第10项\(a_{10}\)的值。

A.21

B.23

C.25

D.27

答案：C

解析：等差数列的通项公式为\(a_n=a_1+(n-1)d\)。将\(n=10\)，\(a_1=3\)，\(d=2\)代入公式，得到\(a_{10}=3+(10-1)\times2=3+18=21\)。因此，正确答案为C。

3.已知三角形\(ABC\)中，\(\angleA=60^\circ\)，\(\angleB=45^\circ\)，求\(\angleC\)的度数。

A.75^\circ

B.60^\circ

C.45^\circ

D.30^\circ

答案：D

解析：根据三角形内角和定理，三角形内角和为\(180^\circ\)。因此，\(\angleC=180^\circ-\angleA-\angleB=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\)。正确答案为D。

4.已知圆\(O\)的半径为5，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离为3，求圆\(O\)与直线\(l\)的位置关系。

A.相离

B.相切

C.相交

D.内含

答案：C

解析：圆心到直线的距离小于半径，说明直线与圆相交。因此，正确答案为C。

二、填空题（每题5分，共20分）

1.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，求\(\cos\alpha\)的值。

答案：\(\pm\frac{4}{5}\)

解析：根据同角三角函数的基本关系，\(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\)。因此，\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\pm\frac{4}{5}\)。

2.已知\(\log_23=a\)，求\(\log_245\)的值。

答案：\(2a+2\)

解析：根据对数的换底公式和对数的运算法则，\(\log_245=\log_2(3^2\times5)=2\log_23+\log_25=2a+2\)。

3.已知\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=0\)，求\(x+y\)的值。

答案：-3

解析：由于平方根的值非负，所以\(\sqrt{x-1}=0\)和\(\sqrt{y+2}=0\)。解得\(x=1\)和\(y=-2\)，因此\(x+y=1-2=-1\)。

4.已知\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\)，且\(x0\)，\(y0\)，求\(xy\)的最小值。

答案：3

解析：根据基本不等式，\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)。因此，\(\frac{1}{3}\geq2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)，解得\(xy\geq3\)。当且仅当\(x=y=\frac{3}{2}\)时，等号成立。

三、解答题（每题15分，共30分）

1.已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求\(f(x)\)的单调区间。

答案：

函数\(f(x)\)的导数为\(f(x)=3x^2-3\)。令\(f(x)=0