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2025年必威体育精装版数学考验题库及答案解析

题目1计算极限：$\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x^2}\ln(1+t)\,dt-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{12}}{x^8}$

解析本题为$\frac{0}{0}$型未定式，需利用泰勒展开或洛必达法则结合变上限积分求导。首先对被积函数$\ln(1+t)$进行泰勒展开：

$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+o(t^4)$（当$t\to0$时）。

将其代入变上限积分：

$\int_{0}^{x^2}\ln(1+t)\,dt=\int_{0}^{x^2}\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+o(t^4)\right)dt$

$=\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{6}+\frac{t^4}{12}-\frac{t^5}{20}+o(t^5)\right]_0^{x^2}$

$=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+o(x^{10})$。

原式分子为：

$\left(\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+o(x^{10})\right)-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{12}$

$=\left(-\frac{x^6}{6}+\frac{x^6}{12}\right)+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+o(x^{10})$

$=-\frac{x^6}{12}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+o(x^{10})$。

因此原极限为：

$\lim\limits_{x\to0}\frac{-\frac{x^6}{12}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+o(x^{10})}{x^8}=\lim\limits_{x\to0}\left(-\frac{1}{12x^2}+\frac{1}{12}-\frac{x^2}{20}+o(x^2)\right)$。

但此处发现分子中$x^6$项导致低阶无穷小，说明泰勒展开阶数不足。重新展开$\ln(1+t)$至$t^5$项：

$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^6}{6}+o(t^6)$，

则积分后：

$\int_{0}^{x^2}\ln(1+t)dt=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+\frac{x^{12}}{30}-\frac{x^{14}}{42}+o(x^{14})$。

分子变为：

$\left(\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+\frac{x^{12}}{30}+o(x^{12})\right)-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{12}$

$=-\frac{x^6}{12}+\frac{x^8}{12}-\frac{x^{10}}{20}+\frac{x^{12}}{30}+o(x^{12})$。

此时分子最低阶为$x^6$，而分母为$x^8$，仍需更高阶展开。正确做法是将分子整体视为$x^8$的高阶无穷小，因此应展开$\ln(1+t)$至$t^7$项：

$\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^5}{5}-\frac{t^6}{6}+\frac{t^7}{7}+o(t^7)$，

积分后：

$\int_{0}^{x^2}\ln(1+t)dt=\frac{x^4}{2}-\frac{x^6}{6}+\frac{x^8}{12}-