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带弥散项渗流驱动问题的特征有限元-混合元两层网格算法的高效求解策略研究

一、引言

1.1研究背景与意义

在众多实际工程领域中，带弥散项渗流驱动问题扮演着至关重要的角色，对其深入研究具有不可忽视的理论价值与现实意义。在油藏开采领域，精确理解和模拟渗流过程是实现高效开采的关键。油藏可视为典型的多孔介质，其中流体的渗流行为极为复杂，不仅涉及流体的流动，还存在着物质的扩散与弥散现象。随着全球能源需求的持续攀升，如何提高油藏采收率成为石油工业面临的核心问题之一。带弥散项渗流驱动问题的研究能够为油藏开采提供关键的理论支持，帮助工程师优化开采方案，例如确定最佳的注采井布局、注采速率等参数，从而提高油藏采收率，降低开采成本。同时，对于保障国家能源安全和推动石油工业的可持续发展具有重要意义。

地下水污染模拟同样离不开对带弥散项渗流驱动问题的研究。地下水作为重要的水资源，一旦受到污染，将对生态环境和人类健康造成严重威胁。污染物在地下水中的迁移过程受到渗流和弥散的共同作用。通过深入研究带弥散项渗流驱动问题，可以建立更加准确的地下水污染模型，预测污染物的扩散范围和浓度变化，为地下水污染的防治提供科学依据。例如，在工业废水排放、农业面源污染以及垃圾填埋场渗滤液泄漏等场景下，能够及时采取有效的防控措施，减少地下水污染的风险，保护地下水资源。

在处理带弥散项渗流驱动问题时，数值方法是常用且有效的手段。特征有限元-混合元方法作为一种重要的数值方法，具有独特的优势。特征有限元方法通过沿着特征线进行离散，能够有效捕捉对流占优的物理现象，减少数值弥散和振荡，提高计算精度。而混合有限元方法则能够同时高精度地逼近压力和流速等物理量，并且在处理不可压缩流体问题时具有良好的稳定性。将这两种方法相结合，形成的特征有限元-混合元方法，能够充分发挥各自的优点，更有效地处理带弥散项渗流驱动问题。

然而，传统的单重网格算法在求解大规模问题时，往往面临计算效率低下的问题。随着问题规模的增大，计算量和存储量呈指数级增长，导致计算时间过长，甚至超出计算机的处理能力。两层网格算法的提出为解决这一问题提供了新的思路。两层网格算法的基本思想是将计算过程分为两个阶段，首先在粗网格上求解一个规模较小的非线性问题，得到一个较为粗糙的近似解；然后利用这个近似解在细网格上进行局部修正，求解一个线性问题，从而得到高精度的解。通过这种方式，两层网格算法在不显著降低求解精度的前提下，能够大幅减少计算量和计算时间，提高计算效率。对于大规模的带弥散项渗流驱动问题，两层网格算法能够在合理的时间内给出准确的数值解，使得复杂的工程问题得以高效解决。

1.2国内外研究现状

在带弥散项渗流驱动问题的研究领域，众多学者从理论分析和数值方法等多个角度展开了深入探索。在理论研究方面，学者们针对带弥散项渗流驱动问题的数学模型进行了大量工作，建立了各种不同条件下的数学模型，以准确描述渗流过程中的物理现象。这些模型考虑了多种因素，如流体的可压缩性、多孔介质的特性、弥散项的影响以及不同流体之间的相互作用等，为后续的数值模拟和分析提供了坚实的理论基础。

数值解法方面，有限差分法是较早被应用于带弥散项渗流驱动问题的数值方法之一。有限差分法通过将研究空间划分成小网格，把时间分成小段，用差商近似代替微商，将偏微分方程转化为代数方程组进行求解。在一维水动力弥散问题中，通过向前、向后和中心差分等不同格式，可得到显式、隐式和Crank-Nicolson等差分格式。然而，有限差分法在处理复杂边界条件和不规则区域时存在一定的局限性，其精度和稳定性也受到网格划分的影响。

有限元法在带弥散项渗流驱动问题的求解中也得到了广泛应用。有限元法将求解区域离散为有限个单元，通过构造插值函数来逼近未知函数，将连续的数学模型转化为离散的代数方程组。伽辽金有限单元法通过将迦辽金方程与有限元剖分思想结合，能够有效处理带弥散项渗流驱动问题。有限元法具有对复杂几何形状和边界条件适应性强的优点，能够在一定程度上提高计算精度。但随着问题规模的增大，有限元法的计算量和存储量会显著增加，计算效率成为制约其应用的关键因素。

为了提高计算效率，一些学者提出了正交配置法、有限体积元法等数值方法。正交配置法通过选择合适的配置点，将偏微分方程转化为代数方程组，能够得到较高精度的解，并得到了最优阶的误差估计。有限体积元法结合了有限差分法和有限元法的优点，在处理带弥散项渗流驱动问题时，既具有良好的物理特性，计算相对简单，又能保证一定的计算精度。在矩形区域两相渗流驱动问题中，有限体积元法针对可混溶和不混溶两种情形，分别得到了不同的最优估计。

特征有限元-混合元方法作为一种新兴的数值方法，近年来受到了广泛关注。特征有限元方法沿着特征线进行离散，能够有效捕捉对流占优的物理现象，减