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第22讲双变量问题

知识梳理

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由己知条件手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转

化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

必考题型全归纳

题型一：双变量单调问题

例1.2（024・全国•高三专题练习）已知函数回

⑴当1臼I时,求曲线|因］在|区］|处的切线方程;

⑵设I区I，证明：对任意胜|冈|，I区.

【解析】（1）当目~1时,旧।臼一I，切点为Ml

求导0，切线斜率^

日曲线I叵］在［叵］_」处的切线方程为17^I

2（）耳二I，回的定义域为后=1，求导S

|回…］在后）1上单调递减•

不妨假设|冈|，・・・|回等|价于|冈……

从而向在I区I单调减少,故|冈~|，即冈

故对任意|因一.

1

例2.2（024•安徽•校联考三模）设回1，函数.

（I）讨论函数向在定义域上的单调性;

（II）若函数向的图象在点|回……|处的切线与直线|回平|行,且对任意

冈|冈|，不等式因恒成立，求实数划勺取值范围.

【解析】（I）向的定义域是|冈一:

0.

（I）当I臼I时,百［・——［，|冈木J定义域|国|内单增;

此时向1在区内单增，在内单减;

（3）当|臼|时,向叵二|的定义域叵三|内单减.

（II）因为旧所以回，耳.

此时I臼.

由（I）知，I日时,|冈|的定义域［国|内单减.

不妨设|冈I，

则因，即向

I叫回柄成［立.

令旧~耳，则同一|在|冈|内单减,即应二

国I回I，再

而0,当且仅当I区］时,因卜得最小值同,

所以向三故实数辅勺取值范围是叵二）.

2

例3.2（024•福建漳州•高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数

（I）讨论函数目的单调性；

（H）若同时，任意的|冈~总有|因~|，求实数比

的取值范围.

【解析】（I）|冈1S（国））

①当回厨|冈1,故叵二］在厄二）上单调递;曾；

②当|臼附旧I，故|冈在|扃一|上单调递减;

③当后一I时,令旧…|解得因

当回