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傅里叶变换的基本性质

主要内容：

1.对称性质

2.线性性质

3.奇偶虚实性

4.尺度变换性质

5.时移特性

时域卷积定理

频域卷积定理

6.频移特性

7.时域积分性质8.时域微分性质9.频域微分性质

10.帕塞瓦尔定理

1.对称性(互易对偶性)(时频对称性)

若f(t)—→F(m)

则F(t)—→2πf(-a)

例1:d(t)1

例1:

2pd(w)

例2:f(t)

F(t)=ESa(

tt.

)

2

2pf(w)

2pf(-w)=2pf(w)

TT

22

例3解：已知,求F[f(t)]

例3

解：

思路⑧什么样的信号频谱含

根据对称性质

2.线性性

若f(t)—→F(w),f?(t)—→F?(a)

则af(t)+a?f?(t)—→aF(a)+a?F?(a)

其中，a1,a2为常数

3.奇偶虚实性

若f(1)—→F(a)=|F(o)|e/o(o)=R(@)+jX(@)则：

(1)当f(t)为实函数时：→F(a)共轭对称

即：F(w)偶对称，φ(w)奇对称；

R(a)偶对称，X(?)奇对称；

(2)当f(t)为实偶函数时，→F(?)为实偶函数；

(3)当f(t)为实奇函时，→F(?)为虚奇函数；

(4)当f(t)为纯虚函数时，→|F(a)|为偶函数，φ(w)为奇函数；R(?)奇对称，X(w)偶对称；

4.尺度变换特性(展缩特性)

若f(t)→F(w)

则,a≠0

意义

(a)0a1时域扩展，频带压缩。

(b)a1时域压缩，频域扩展a倍。

例：

结论：

时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。

信号的持续时间与信号占有频带成反比

5.时移特性

式中t,为任意实数の←@

式中t,为任意实数

罗图合

注意：信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。

注意：

时移加尺度变换：

书例3-2:求下列所示三脉冲信号的频谱。

解：令fo(t)表示矩形单脉冲信号

∵f(t)=f(t)+fo(t+T)+f(t-T)

由时移特性可得：

T

实偶信号的频谱为实偶

(书P133)已知双Sa信号

试求其频谱。

解：

则f①=f(1)-fo(t-2r)

F[f①=F簇①-F簇(t-2r)

由时移特性得到

(b)

因此f①的频谱F(w)等于

F(四)=F簇①-F簇(4-2r)

从中可以得到幅度谱为

(

(

|w.)

w|w.)

在实际中往往取,此时上式变成

w|w.)

w|w.)

双Sa信号的波形和频谱如图(d)(e)所示。

(e)

(d)

6.频移特性(调制定理)

若f(t)—→F(w)

则f(t)e1i→F(@干a,)Q,为是实常数

证明：由傅立叶变换定义有

调制性：

证明：

F[f(t)coswot]

书例3-4(书P133)

已知矩形调幅信号如图所示f(t)=G(t)cos(wot)

其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E,脉宽为T,试求其频谱。

解：G(t)矩形脉冲的频谱为：

根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为

t

书例3-5:(书P134)

已知f(t)=cos(w?t)

利用频移定理求余弦信号的频谱。

解一：

解二：∵F[1]=2pd(w)

\F[cos(wot)]=p[d(w+wo)+d(w-w?)]

余弦信号及其频谱函数

注意：周期信号也存在傅里叶变换

7.时域积分特性

若f(t)—→F(w)

F(0)=ò￥f(t)dt

证明方法一：书P.135

证明方法二：利用卷积定理

应用：

正向应用

逆向应用

更常用

时域积分性质应用举例：

正向应用—→直接套用性质即：

用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换

例1:(补充)已知F[d()]=1,求F[òtd(T)dt]

解：设F(w)=F[δ(t)]=1,

则

逆向应用—→对所求函数先微分再表示成积分形式

例1:(书例3-7)用时域积分性质求y(t)的频谱

Y(0)=1

易出错处：微分后再积分不一定等于原函数!

取决于f(-)是否为0

例2:(补充)用时域积分性质求符号函数sgn(t)的频谱

代入上式得：:

中1