2026年新高考数学专题复习 61.线面角计算的六大应用.docxVIP

61.线面角计算的六大应用

一．基本原理

直线与平面所成角

（1）定义：如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）范围：直线与平面所成的角的取值范围是.

由上述定义可知，计算线面角的关键点在于向平面做垂线，找到这个垂线段的长度，为了找到垂线并且能够有效的计算出垂线段的长度，除了定义法之外，可以利用等体积法来计算点到面的距离.此外，可以利用面面垂直的性质找到点到面的垂线段，这些都是计算线面角的常用方法之一，最后，再加上一个刻画线面角性质的三余弦定理，它也可以用来计算线面角的大小.

二．计算方法与应用

应用1.定义法

应用2.等体积法：

应用3.垂面法

应用4.三余弦定理

应用5.空间向量（本文略去）

应用6.范围与轨迹问题

（i）最小角意识

线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，又称最

小角定理.（凌晨讲数学）

（ii）圆锥意识

如上图，，这里就会出现下面几类范围问题：

（1）已知大小，且知长，那么射影就是一个以斜足为圆心的圆的半径；

（2）已知大小，则斜线为一个以为顶点的圆锥的母线

（iii）坐标意识

二．典例分析：

应用1.定义法

例1.(2022年高考全国甲卷)在长方体中，已知与平面和平面

所成的角均为，则()

A． B．与平面所成的角为

C． D．与平面所成的角为

解析：如图所示：

不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．

对于A，，，，A错误；

对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；

对于C，，，，C错误；

对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确．故选：D．

应用2.等体积法

例2.（2022年全国甲卷）在四棱锥中，底面，，

，，．

（1）证明：；

（2）求与平面的所成的角的正弦值．

解析：设点到平面的距离为，在中，

，,由等体积法得：

,，设与平面所成角为

则

例3．如图，四边形为正方形，平面，∥，

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

解析：（1）连接交于，四边形为正方形，，

又平面，平面，则.又∥，四点共面，，且平面，于是平面.

（2）//，与平面所成角就是与平面所成角.在中，可以求得，，，

根据余弦定理得，

，，

，设点到平面的距离为，由平面知，而，因此平面，显然平面，则点到平面的距离为长2，而，

由，得，即，解得.??

故与平面所成角的正弦值为.

应用3.垂面法

例4.（2022年全国甲卷）在四棱锥中，底面，，

，，．

（1）证明：；

（2）求与平面的所成的角的正弦值．

解析：作交于，∵平面，平面

∴，∴平面面,∴面面,过点作面

的垂线，垂足在面与面的交线上，∴直线与平面所成角，在中:

∴，故直线与平面所成角的正弦.

例5．如图1，在平行四边形ABCD中，，AD＝2，AB＝4，将△ABD沿BD折起，使得点A到达点P，如图2

（1）证明：BD⊥平面PAD；

（2）当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．

解析：（1）证明：在中，因为，AD＝2，AB＝4，故，所以，即,在沿对角线BD将翻折过程中，始终有，故,因为平面PAD，故BD⊥平面PAD；

（2）如图，设PA的中点为E，连接DE,BE，因为,故,又因为,故,则二面角的平面角，由（1）知BD⊥平面PAD，平面PAD，则,故,故在中，,则,则,而,平面ABCD,故平面ABCD,而平面ABCD,故,又因为,而平面PBD,所以平面PBD,由于平面PBC,故平面PBC平面PBD,且平面PBC平面PBD=PB,故过点D向平面PBC作垂线，垂足F落在PB上，则,即为直线BD与平面PBC的夹角，由（1）可知,而，则,则,故直线BD与平面PBC的夹角的正弦值为.

★应用4.三余弦定理

设为面上一点，过的斜线在面上的射影为，为面上的一条直线，则

证明：如图，过点作，由于，则，从而.

于是，于是得证：

例6.（2020年浙江卷）如图，在三棱台中，平面平面，，.

（1）证明：.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

解析：如图所示，过点作于，因为，所以点在平面上的射影一定在的平分线上，设直线与平面所成角为，因为，所以与平面所成角也为.由（1）知，由三余弦定理知，即，所以，从而，即直线与平面所成角的正弦值为.

应用5.线面角中的范围与轨迹问题

例7．已知直线和平面所成的角为，则直线和平