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实数教学课件

导入：从数谈起在我们生活的世界中，数无处不在。从最初认识的自然数，到后来学习的整数、分数，我们的数学认知不断扩展。自然数（如1,2,3...）最初源于人类对事物数量的计数需求。随着减法的引入，负数概念产生，与自然数共同构成了整数体系。当我们需要表示不能整除的量时，分数应运而生。这些数共同构成了有理数系统。生活中的有理数例子：商品标价：￥9.9温度计读数：-5°C分数考试成绩：98/100生活中的无理数例子：圆的周长与直径比值：π黄金比例：(1+√5)/2正方形对角线与边长比值：√2然而，这些数系统仍无法描述所有现实中的数量关系。例如，正方形对角线长度与边长的比值无法用分数精确表示。这促使我们需要更广泛的数系统——实数。

数的分类回顾自然数自然数是我们最早接触的数，用于计数，包括：1,2,3,4...特点：离散、用于计数、只有正整数（有些定义包含0）记作：N={1,2,3,...}整数在自然数基础上，增加了0和负整数特点：包含正整数、0和负整数记作：Z={...,-2,-1,0,1,2,...}分数表示为两个整数的比值：p/q(q≠0)特点：可表示部分量，填补了整数间的空隙例如：1/2,3/4,-5/7等有理数的定义及表示方法有理数是指所有可以表示为两个整数之比的数，即形如p/q的数（其中q≠0）。有理数可以表示为：分数形式：如2/3、-4/5小数形式：有限小数：如0.25（即1/4）无限循环小数：如0.333...（即1/3）常见有理数举例分数形式小数形式说明1/20.5有限小数1/30.333...无限循环小数7/90.777...无限循环小数-5/4-1.25负有限小数0/10

有理数的进一步认识有理数的构成有理数系统由三部分组成：正有理数大于0的有理数，如1,2.5,3/4等。表示增加、盈利、向上、向右等正向量。负有理数小于0的有理数，如-1,-2.5,-3/4等。表示减少、亏损、向下、向左等负向量。零既不是正有理数也不是负有理数。表示平衡点、起始点、无变化状态。分数与小数的关系所有的有理数都可以表示为分数形式，也可以表示为小数形式。小数形式分为：有限小数：如0.25、1.75等无限循环小数：如0.333...、0.142857142857...判断规则：将分数化为最简分数p/q，如果q的质因数只包含2和5，则为有限小数；否则为无限循环小数。实际问题举例银行存款利率为3.5%，存入100元一年后可获得利息：100×3.5%=3.5元商店打八折，原价120元的商品现价为：120×0.8=96元

无理数的引入在我们认识的数字世界中，有理数似乎已经足够应对各种情况。然而，当我们尝试计算一些特殊的数学问题时，会发现有理数系统的局限性。无理数的发现历程早在公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派就发现了一个令人困惑的问题：正方形的对角线长度与边长无法用两个整数的比值表示。这个比值就是我们现在熟知的√2，它是最早被发现的无理数。毕达哥拉斯学派试图证明所有数都可以表示为整数比，但他们发现√2无法表示为分数形式。据传说，发现这一事实的学者因触犯学派信仰而被处死，可见这一发现的震撼性。开平方后不是有理数的数√2≈1.414213562...√3≈1.732050808...√5≈2.236067977...其他著名的无理数π（圆周率）是最著名的无理数之一，表示圆的周长与直径的比值。π≈3.1415926535...e（自然对数的底）也是重要的无理数，在数学和科学中有广泛应用。e≈2.7182818284...现实生活中的无理数现象无理数虽然难以精确表示，但在现实世界中无处不在：圆形物体的周长与直径比值永远是π正方形的对角线长度与边长比值是√2黄金比例(1+√5)/2，约等于1.618，广泛存在于艺术和自然界中

无理数的定义无理数的形式特征1小数部分无限不循环无理数的最显著特征是其小数表示既不是有限的，也不存在任何循环节。每个无理数的小数展开式都是永无止境且无规律的。例如：π=3.1415926535897932384626433832795...无论我们计算到小数点后多少位，都无法找到确定的循环节。2不能表示成整数之比无理数无法写成两个整数的比值形式p/q（其中q≠0）。这是无理数与有理数的本质区别。例如：无法找到两个整数a和b，使得a/b=√2。这一特性可以通过反证法证明：若假设√2可表示为最简分数p/q，将导致矛盾。常见的无理数示例无理数近似值数学意义√21.4142135624...正方形对角线与边长之比√31.7320508076...等边三角形高与边长之比的2倍π3.1415926535...圆周长与直径之比e2.7182818