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湖南省2025年高一数学分班考试练习题含答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数$f(x)=x^22x+1$，则$f(x)$的最小值是（）

A.0B.1C.1D.2

答案：A

2.已知$a^2+b^2=1$，则$a^2+b^2+2ab$的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

3.已知$a+b=2$，$ab=1$，则$a^2+b^2$的值是（）

A.2B.3C.4D.5

答案：D

4.已知函数$y=2x^33x^2+1$，则该函数的极值点为（）

A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.$x=3$

答案：B

5.已知$f(x)=x^36x^2+9x+1$，则$f(x)$的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

答案：C

6.已知三角形的三边长分别为$a=3$，$b=4$，$c=5$，则该三角形的面积是（）

A.6B.8C.10D.12

答案：B

7.已知等差数列$\{a_n\}$的前10项和为$S_{10}=100$，且$a_5+a_7=12$，则该数列的公差是（）

A.1B.2C.3D.4

答案：B

8.已知等比数列$\{b_n\}$的前8项和为$S_8=56$，且$b_4=4$，则该数列的公比是（）

A.$\frac{1}{2}$B.1C.2D.4

答案：C

二、填空题（每题5分，共40分）

9.已知函数$f(x)=x^24x+c$有两个不同的实数根，求实数$c$的取值范围。

答案：$c4$

10.已知$a+b=3$，$ab=2$，求$a^2+b^2$的值。

答案：$7$

11.已知函数$y=x^33x^2+4$，求该函数的极值。

答案：极大值$f(0)=4$，极小值$f(2)=4$

12.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$S_5=35$，且$a_3=11$，求该数列的公差。

答案：$d=2$

13.已知等比数列$\{b_n\}$的前4项和为$S_4=30$，且$b_2=6$，求该数列的公比。

答案：$q=3$

14.已知三角形的三边长分别为$a=5$，$b=7$，$c=8$，求该三角形的面积。

答案：$S=14$

三、解答题（共20分）

15.（10分）已知函数$f(x)=x^36x^2+9x+1$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=3x^212x+9$，令$f(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。

当$x1$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递增；

当$1x3$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递减；

当$x3$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递增。

所以$f(x)$的单调递增区间为$(\infty,1)\cup(3,+\infty)$，单调递减区间为$(1,3)$。

16.（10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+3n$，求该数列的通项公式。

解：当$n=1$时，$a_1=S_1=5$。

当$n\geq2$时，$a_n=S_nS_{n1}=2n^2+3n2(n1)^23(n1)=4n1$。

所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=4n1$。