图形的相似+专项训练+证明比例式或等积式的常用方法2）数学八年级下册.docxVIP

第九章图形的相似

专项训练证明比例式或等积式的常用方法

技巧一三点定形法

1.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上,

(1)求证:BDCE

(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.

技巧二等线段代换法

2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的延长线与BC相交于点F,O

(1)求证：四边形AFCD是平行四边形；

(2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BF,求证:△ABE∽△ACD.

3.如图,已知在△ABC中,AD是△ABC的中线,∠DAC=∠B,点E在边AD上,CE=CD.

(1)求证:ACAB

(2)求证:A

技巧三等比代换法

4.如图所示，在四边形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AB上,连接CF交线段BE于点G,C

(1)求证:∠ACF=∠ABD;

(2)连接EF,求证:EF·BG=FG·CB.

5.如图,在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F,G,且AD:AC=DF:CG.

求证:(1)AG平分∠BAC;

(2)EF·CG=DF·BG.

技巧四等积代换法

6.如图,在△ABC中,D是AB上一点,E是△ABC内一点,DE∥BC,过D作AC的平行线交CE的延长线于点F，CF与AB交于点P,求证:PE

7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过点B作BE?AG,

8.如图,在△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点D,E,F.

(1)求证:AD

(2)连接EF,求证:AE·BC=EF·AC.

参考答案

1.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,

∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,

∵∠DEF=∠B,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF,∴

(2)∵△BDE∽△CEF,∴

∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴

∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF,∴∠DFE=∠CFE,∴FE平分∠DFC.

2.证明:(1)∵OD2=OE·OB,∴

∵AD∥BC,∴

又∵∠AOE=∠DOC,∴△AOE∽△COD,∴∠EAO=∠DCO,∴AF∥CD,

∴四边形AFCD是平行四边形；

(2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC,∴

∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD.

∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC.

∵AE·AF=AD·BF,∴

∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD,∴

∴AE

3.证明:(1)∵CD=CE,∴∠CED=∠EDC,

∵∠AEC+∠CED=180°,∠ADB+∠EDC=180°,∴∠AEC=∠ADB,

∵∠DAC=∠B,∴△ACE∽△BAD;∴

∵BD=CD=CE,∴

(2)∵∠DAC=∠B,∠ACD=∠BCA,∴△ACD∽△BCA,

∴AC

∵△ACE∽△BAD,∴AE

∴2AE·AD=2BD·CE=BC·CD,∴A

4.证明:1

又∵∠CGD=∠EGC,∴△GCD∽△GEC.∴∠GDC=∠GCE.

∵AB∥CD,∴∠ABD=∠BDC.∴∠ACF=∠ABD;

(2)∵∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,∴△BGF∽△CGE.∴

又∵∠FGE=∠BGC,∴△FGE∽△BGC.∴

∴FG

5.证明:(1)∵∠DAE+∠AED+∠ADE=180°,∠BAC+∠B+∠C=180°,∠AED=∠B,

∴∠ADE=∠C,

在△ADF和△ACG中,AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C,∴△ADF∽△ACG,

∴∠DAF=∠CAG,∴AG平分∠BAC;

(2)在△AEF和△ABG中,∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG,∴△AEF∽△ABG,∴

在△ADF和△AGC中,∠DAF=∠CAG,∠ADF=∠C,∴△ADF∽△ACG,

∴DF

6.证明:∵DE∥BC,∴△PDE∽△PBC,∴PD

∵DF∥AC,∴△PDF∽△PAC,

∴PDPA=

7.证明:∵CD⊥AB,BE⊥AG,∴∠GEB=∠BDF,

∴∠G=∠DBF,且∠ADG=∠FDB,∴△ADG∽△FDB,

∴AD

∵∠ACB=90°,∠CDB=90°,∴∠ACD+∠DCB=∠CAD+∠ACD,

∴∠CAD=∠DCB,∴△ADC∽