插值法(拉格朗日插值).pptxVIP

问题的提出

拉格朗日插值

牛顿插值

埃尔米特插值

曲线拟合的最小二乘法

第三章插值法/*Interpolation*/

§1问题的提出

函数y=f(x)

1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，

x

x0

x1

x2

……

xn

y=f(x)

y0

y1

y2

……

yn

3）列表函数

问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。——插值问题

已知精确函数y=f(x)在一系列节点x0…xn处测得函数值y0=f(x0),…yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。这里的p(x)称为f(x)的插值函数。最常用的插值函数是…?

多项式

p(x)f(x)

§1.1Taylor插值

函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor多项式:

可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,…,n

因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).

Taylor展开方法就是一种插值方法.

泰勒插值要求提供f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于f(x)相当简单的情况.

设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且给出一系列点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多项式pn(x)使得

pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)

函数pn(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,…xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间[a,b]称为插值区间。pn(xi)=yi称为插值条件。

构造的n次多项式可表示为:

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

§1.2Lagrange插值

证明：(利用Vandermonde行列式论证)

这是一个关于a0,a1,…an的n+1元线性方程组,其系数行列式:

由于i≠j时,xi≠xj,因此,即方程组有唯一解.

§2拉格朗日插值公式

n=1

可见P1(x)是过(x0,y0)和(x1,y1)两点的直线。

称为拉氏基函数

直线方程的两点式：

线性插值

抛物插值

l0(x)

l1(x)

l2(x)

n1

N次拉格朗日插值多项式

与有关，而与无关

节点

f

n次多项式

用简单的插值函数Ln(x)代替原复杂函数f(x),其精度取决于截断误差,即插值余项.

——拉格朗日余项定理

解：

n=1

分别利用x0,x1以及x1,x2计算

sin50=0.7660444…

外推/*extrapolation*/的实际误差

内插/*interpolation*/的实际误差

内插通常优于外推。选择要计算的x所在的区间的端点，插值效果较好。

n=2

sin50=0.7660444…

2次插值的实际误差

高次插值通常优于低次插值

但绝对不是次数越高就越好，嘿嘿……

拉格朗日插值多项式编程容易，只需双重循环

如果发现当前的插值方法不够精确，就要增加插值点的个数，则拉格朗日插值基函数li(x)都将重新计算。

牛顿插值法将讨论该问题。

例：已知数据表

xk

10

11

12

13

f(xk)

2.3026

2.3979

2.4849

2.5649

试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)．

解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值．先作插值基函数．

已知x0=11,y0=2.3979，x1=12,y0=2.4849，x2=13,y2=2.5649

Ｌ2(x)=

f(11.75)Ｌ2(11.75)=

例已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2

解：