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第三篇：特殊函数第二章勒让德多项式

勒让德多项式（轴对称问题）及性质1连带勒让德函数（转动对称问题）2球函数（一般问题）3主要内容：

01在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程02在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程03和球谐函数方程

010203同样若记则上述方程也可写为下列形式的阶勒让德方程

?xyzr?

勒让德方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的性质、母函数和递推公式勒让德多项式的应用2·1勒让德多项式

我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为式中上式具有多项式的形式，故称为阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．一、勒让德方程的解：

（注意到前几个勒让德多项式:二、勒让德多项式

STEP01STEP02勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到

01勒让德多项式的微分表示02上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．03勒让德多项式的积分表示04根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有05容易证明微分表示也可表示为环路积分形式

为010102030405平面上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路，还可以进一步表为下述拉普拉斯积分2·2勒让德多项式的性质

奇偶性：01根据勒让德多项式的定义式，作代换02容易得到03即当04为偶数时，勒让德多项式05为偶函数，06为奇数时07为奇函数08式中记号09而10因此，11

01勒让德多项式的正交关系02两式称为正交性．

代入01的微分式得：02模为：03二、勒让德多项式的模：

由前面的分析可以看出，勒让德多项式01为本征函数族，（02可以作为广义傅立叶级数的基。03若函数04定义在区间05上，或06定义在区间07上，则08或09）是正交的、完备的。10三、广义傅立叶级数

其中系数：或

例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。

另一解法：01推广：02

在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数

解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，01例题3、在球02的内部,求解03u=0,使得满足边界条件04解：m=0通解为：05有限值06通解为07

例题4：半径为的半球，其球面上温度为，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。选取球心为极点，Z轴为极轴，Z轴为对称轴，无关。ZXYO

对定解问题解析延拓到整个球形区域1x=0上满足第二类边界条件，是关于Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。2或3

3代入边界条件得：21通解为：对于球的内部：54展开为广义傅立叶级数。

可以导出：01.比较系数得：01.

例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），场强为，球的半径为，介电常数为，试求解介质球内外的场强。解：选取球心为极点，极点，平行于即：Z轴为对称轴，由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。的直线为Z轴。无关。场强在球面上不连续。在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。

设球内电势为：01，满足：02设球外电势为：03，满足：04

比较系数得：

解方程：代入衔接条件：衔接条件：①电势在球面上连续。电位移矢量的法向分量在球面上连续

比较系数得：

解出：其中与零电势的选取有关。

可以看出，球内场强沿原方向也是匀强电场。只是场强削弱了。一般情况球内极化强度：为常数，所以，球的极化是均匀的。球外场强：为匀强电场。03040501025、求场强：球内场强：

五、母函数1、定义：设在单位球北极放置正电荷，求球内外任意点解：取球心为极点，Z轴为极轴。球内外任一点的电势关于Z轴对称。球内外电势满足：（无源场）无关。的电势。xyz通解为：

⑴球内电势：

取球内任一点：则M点的电势为：，它到电荷的距离为d，

01其中：02叫03的母函数。

⑵球外电势：

对于任一点：

母函数：对于半径为R的球，母函数为：

2、应用⑴在点正电荷放置接地的导体球，球的半径为a，球心与电荷相距为，求解静电场。的电场中，解：取球心O为极点，极轴通过点电荷，电势满足：（无源场）无关。通解为：

01由于导体的存在，导体球上产生静电感应电荷，02它引起的电势变化为无导体球时：任一点电势为：

对于定解问题：

代入边界：01.引入母函数：01.时01.

比较系数得：其中：

。因为01所以02即，点电荷在球内。03物理意义：相当于某