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高数期末考试题及答案

一、选择题（每题3分，共15分）

1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x1)}\)的定义域是（）

A.\((1,+\infty)\)

B.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)

C.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)

D.\((2,+\infty)\)

2.已知\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinkx}{2x}=2\)，则\(k\)的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.函数\(y=x^33x\)的单调递减区间是（）

A.\((-\infty,-1)\)

B.\((-1,1)\)

C.\((1,+\infty)\)

D.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

4.设\(f(x)\)的一个原函数是\(x\lnx\)，则\(\intxf(x)dx=\)（）

A.\(x^2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\lnx)+C\)

B.\(x^2(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\lnx)+C\)

C.\(x\lnx+x+C\)

D.\(x\lnxx+C\)

5.微分方程\(y4y+4y=0\)的通解是（）

A.\(y=C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}\)

B.\(y=(C_1+C_2x)e^{2x}\)

C.\(y=C_1\cos2x+C_2\sin2x\)

D.\(y=C_1e^{x}+C_2e^{4x}\)

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\lt0\\e^x,x\geq0\end{cases}\)，则\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\)______。

2.曲线\(y=x^33x^2+1\)在点\((1,-1)\)处的切线方程为______。

3.已知\(\intf(x)dx=x^2e^x+C\)，则\(f(x)=\)______。

4.定积分\(\int_{0}^{1}(2x+e^x)dx=\)______。

5.设\(z=x^2y+\cos(xy)\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}=\)______。

三、计算题（每题8分，共40分）

1.求极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}\)。

2.设\(y=\ln(1+x^2)\)，求\(y\)。

3.计算不定积分\(\intx\cosxdx\)。

4.计算定积分\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx\)。

5.求微分方程\(y+2y=e^{-x}\)的通解。

四、解答题（每题10分，共20分）

1.求函数\(f(x)=x^33x^29x+5\)的极值。

2.求由曲线\(y=x^2\)与\(y=2x^2\)所围成的平面图形的面积。

五、证明题（10分）

证明：当\(x\gt0\)时，\(x\gt\ln(1+x)\)。

答案

一、选择题

1.C。要使函数\(y=\frac{1}{\ln(x1)}\)有意义，则\(\begin{cases}x1\gt0\\\ln(x1)\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}x\gt1\\x1\neq1\end{cases}\)，解得\(x\gt1\)且\(x\neq2\)，所以定义域为\((1,2)\cup(2,+\infty)\)。

2.D。根据等价无穷小\(\sinkx\simkx(x\to0)\)，则\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinkx}{2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{kx}{2x}=\frac{k}{2}=2\)，解得\(k=4\)。

3.B。对\(y=x^33x\)求导得\(y=3x^23\)，令\(y\lt0\)，即\(3x^23\lt0\)，\(x^21\lt0\)，\((x+1)(x1)\lt0\)，解得\(-1\ltx\lt1\)，所以单调递减区间是\((-1,1)\)。

4.C。因为\(f(x)\)的一个原函数是\(x\lnx\