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习题课二重积分的计算

一、主要内容二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是：作出积分区域的草图1。关于坐标系的选择选择适当的坐标系选定积分次序，定出积分限这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑

被积函数呈为正积分区域为圆形、扇形、圆环形二重积分的面积元确定积分限时一定要保证下限小于上限3。关于积分限的确定2。关于积分次序的选择常用极坐标其它以直角坐标为宜选序原则能积分，②少分片，③计算简

看图定限—穿越法定限和不等式定限先选序，后定限①直角坐标系ⅰ。先y后x，过任一x∈[a,b],作平行于y轴的直线穿过D的内部从D的下边界曲线穿入—内层积分的下限从上边界曲线穿出—内层积分的上限ⅱ。先x后y过任一y∈[c,d]作平行于x轴的直线定限

左边界——内层积分的下限右边界——内层积分的上限则将D分成若干个简单区域再按上述方法确定每一部分的上下限分片计算，结果相加极坐标系积分次序一般是过极点O作任一极角为的射线从D的边界曲线穿入从穿出ⅲ。如D须分片

——内下限添加标题内限是外层积分变量的函数或常数添加标题极坐标系下勿忘r添加标题极点在D的外部添加标题—内上限添加标题具体可分为三种情况添加标题极点在D的边界上添加标题是边界在极点处的切线的极角添加标题绝大多数情况下为0添加标题极点在D的内部添加标题化累次积分后添加标题外限是常数添加标题

5关于二重积分的换元法f(x,y)在D上连续变换T：x=x(u,v),y=y(u,v)将uov平面上的闭区域D1变成xoy平面的闭区域D（1）x=x(u,v),y=y(u,v)在D1上具有连续的一阶偏导数（2）在D1上

01单击此处添加小标题基本要求:变换后定限简便，求积容易．02单击此处添加小标题注意

例1解

例2计算1解2积分区域由不等式给出3在不等式中取等号所得的曲线是两个半圆4但它们围不成区域5都有意义6必须限制7因此D只能在x=0，x=2之间8确定了积分区域后，再看被积函数结合积分区域的特点，化成极坐标计算较为简单9

显然r呢？极点在D的边界上，所以那就错了不能以为极点O在区域的边界上就误以为对r积分的下限为0定r的积分限，应先固定以原点为起点作射线这射线和两个半圆相交穿入从从穿出积分限如何确定

尽管极点在D的边界上但极角为添加标题01单击此处添加小标题而不是03单击此处添加小标题的射线并不是从极点穿入02单击此处添加小标题域D的极坐标表示为04

4。关于对称性若D关于x轴对称对利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用

若D关于y轴对称若D关于原点对称

是多元积分所独有的性质——称为关于积分变量的轮换对称性奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质简述为“你对称，我奇偶”、②、③简单地说就是若D关于直线y=x对称

单击此处添加小标题解单击此处添加小标题D关于x,y轴及原点及y=x对称单击此处添加小标题故单击此处添加小标题故单击此处添加小标题例3计算

例4计算D2D1解

D

例6设f(x)在[0,1]上连续求解D

试将二重积分1化成定积分2解3由积分域和被积函数的对称性4有5用极坐标6例77

转正述职汇报为将二次积分化为所需要的定积分，须变换积分次序D1D

依题意，要化为定积分首先应设法将二元函数化为一元函数自然想到用极坐标其次，若先对r后对不可进一步化为定积分所以想到换序例8设f(x)连续，证明注

令则uv

例4计算01解单击此处添加小标题03极点在D的边界上单击此处添加小标题02D的边界单击此处添加小标题04圆周在(0,0)的切线斜率为单击此处添加小标题05故单击此处添加小标题

（和差化积）