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2025高考数学全国卷练习题试卷+解析及答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.已知函数$f(x)=x^33x+1$，则方程$f(x)=0$在区间$(0,2)$内实根的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析：首先求出函数$f(x)$的导数$f(x)=3x^23$，令$f(x)=0$，得$x=\pm1$。分析导数的正负，可以知道$f(x)$在区间$(0,1)$内单调递减，在区间$(1,2)$内单调递增。又因为$f(0)=10$，$f(1)=10$，$f(2)=30$，根据零点存在定理，$f(x)=0$在区间$(0,2)$内有两个实根。

答案：B

2.若$a$，$b$是方程$x^22ax+b=0$的两根，且$a+b=5$，$ab=6$，则$a$的取值为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

解析：根据题意，有$a+b=5$，$ab=6$。根据韦达定理，有$a+b=2a$，解得$a=\frac{5}{2}$。将$a=\frac{5}{2}$代入$ab=6$，解得$b=\frac{6}{\frac{5}{2}}=\frac{12}{5}$。因此，$a$的取值为$\frac{5}{2}$，但选项中没有此答案，可能是题目有误。

答案：（题目有误）

3.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$a=4$，则$b$的取值为（）

A.2

B.$\sqrt{2}$

C.$\sqrt{6}$

D.3

解析：椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距。根据题意，$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a=4$，所以$c=ae=\frac{\sqrt{3}}{2}\times4=2\sqrt{3}$。椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，所以$c^2=a^2b^2$。将$a=4$和$c=2\sqrt{3}$代入，解得$b^2=a^2c^2=1612=4$，所以$b=\sqrt{4}=2$。

答案：A

4.设$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，则$f(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的单调性为（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

解析：求导数$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$。当$x0$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递增；当$x0$时，$f(x)0$，$f(x)$单调递减。因此，$f(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内先减后增。

答案：D

5.已知函数$g(x)=x^2+mx+n$（$m$，$n$为常数）的图像与$x$轴交于$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$两点，若$|AB|=2$，且$g(1)=0$，则$m$的取值为（）

A.1

B.1

C.2

D.2

解析：由于$g(1)=0$，代入$g(x)$得$1^2+m\cdot1+n=0$，即$m+n=1$。根据韦达定理，$x_1+x_2=m$，$x_1x_2=n$。又因为$|AB|=|x_2x_1|=2$，所以$(x_2x_1)^2=4$。根据完全平方公式，$(x_2x_1)^2=(x_1+x_2)^24x_1x_2$，代入得$4=(m)^24n$。将$m+n=1$代入，解得$m=1$。

答案：A

6.设$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a+b+c=12$，$abc=27$，则$a^2+b^2+c^2$的值为（）

A.36

B.48

C.54

D.60

解析：由等差数列的性质，$a+b+c=3b=12$，解得$b=4$。又因为$abc=27$，代入得$4ac=27$，解得$ac=\frac{27}{4}$。根据平方差公式，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^22(ab+bc+ac)=12^22(\frac{27}{4}+4\cdot4)=1442(\frac{27}{4}+16)=1442(\frac{27}{4}+\frac{64}{4})=1442\cdot\frac{91}{4}=144\frac{182}{4}=14445.5=98.5$。答案为选项中最接近的整数。

答案：D

7.设函数$h(x)=x^33x^2+4x+1$，则$h(x)$在区间$(\infty,+\infty)$内的单调性为（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

解析：求导数$h(x)=3x^26x+4$。求$h(x)$的零点，得