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高等代数(1)课程复习提纲

第一章行列式

1、排列理论：

（1）逆序数；

（2）奇偶排列；

（3）对换；

（4）关系：对换与排列奇偶性之间的关系、排列与自然排列之间的关系。

2、行列式的定义：

（1）2、3阶行列式的对角则；

（2）一般行列式的定义；

（3）展开式中项的结构；

（4）使用定义计算及证明。

3、行列式的性质：

5大性质3个推论

4、两大基本计算：

化三角、按行按列展开（化某行（列）只留一个可能的非零元）

5、常用计算技巧：

（1）保序性的调行（列）；

（2）随机矩阵的行列式的处理；

（3）三线行列式；

（4）加边法；

（5）同时拆行拆列法；

（6）递推法；

（7）母函数方法；

（8）法：Vandermonde行列式；Laplace展开

（9）析因子方法；

（10）行列式的乘法法则。

6、Cramer法则：

注意两个前提条件。

7、代数式的性质及其应用

（如求一已知其值的行列式中某行（列）对应代数式的组合的值）

：计算；

难点：n阶行列式的计算。

第二章线性方程组

1、矩阵的初等变换与线性方程组的消元法之间的关系；

2、线性相关性：

（1）线性组合与线性表示，向量组的表示，向量组的等价；

（2）线性相关与无关的定义（2个等价定义、相关与无关的关系）；

（3）线性相关、向量方程有非零解、线性方程组有非零解、系数矩阵的秩之间的关系；

（4）线性相关性的6个性质及基本定理；

（5）表示矩阵在讨论两向量组相关性联系中的作用。

1

3、极大无关组与向量组的秩；

（1）极大无关组的定义及其一般不惟一；

（2）极大无关组的判定：（定义法、等价无关部分组等）；

（3）给定向量组的极大无关组的求法及用极大无关组表出其余向量的方法；

（4）向量组的秩的定义；

（5）向量组与其极大无关组在向量组的相关性讨论中的作用（替换性）。

4、矩阵的秩；

（1）k阶子阵、k阶子式；

（2）矩阵秩的子式定义；

（3）矩阵三秩相等定理；

（4）矩阵秩在向量相关性讨论中的应用；

（5）矩阵秩的有关结论：

1)A∈Rs×n,P∈Rs×s,Q∈Rn×n

∧rank(P)=s,rank(Q)=n

rank（PA）＝rank（AQ）

＝rank（PAQ）＝rank（A）

2)rank(A+B)≤rankA+rankB

3)rank(AB)≤min{rankA,rankB}

T

4)rankA=rankA

5)rank(AB)≥rankA+rankB−n

m×nn×s

T

6)rank(AA)=rankA

7)AB=0rankA+rankB≤n

nrankA=n





8)rankA*=1rankA=n−1

n×n

