函数的单调性与凹凸性.pptxVIP

3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1.单调性判别法2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用3.曲线凹凸性与拐点的概念4.曲线凹凸性与拐点的判别法

一、单调性的判别法定理设函数在上连续,在内可导(1)则函数在上单调增加;(2)则函数在上单调减少;证且应用拉氏定理得内若在内若在

若在内,在上单调增加.若在内,在上单调减少.则则

例1讨论函数的单调性.又解在内，函数单调减少；在内，函数单调增加.注：函数的单调性是一个区间上的性质，完数在这一区间上的符号来判定，的导数符号来判别一个区间上的单调性.要用导而不能用一点处

单调区间的求法问题:如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.注意:导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点.方法:用方程的根来划分函数的定义区间,然后判断区间内导数的符号.不存在的点及完

讨论函数例2的单调区间.解当时，导数不存在.当时，在上单调减少；当时，在上单调增加；单调区间为，.注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是上单调增加.完

例3确定函数的单调区解解方程得当时，在上单调增加；当时，在上单调减少；间.

在上单调增加；当时，单调区间为

例4试证明：当时，证作辅助函数因为在上连续，在内可导，当时，又故当时，所以完且

有且只有一个实根.例5证明方程在区间内证令因在闭区间上连续，且根据零点定理在内有一个零点.另一方面，对于任意实数有

综上所述可知，方程在区间内有且只有一个实根.所以与在轴至多只有一个交点.内单调增加，因此曲线贰壹叁

二、曲线凹凸的概念问题如何研究曲线的弯曲方向?定义设在区间内连续,若对上任意两点恒有则称在上的图形是凹的.若对上任意两点恒有则称在上的图形是凸的.

定理2设在上连续,在内具有二阶导数,若在内(1)则在上的图形是凹的;证明在情形(1),设和为内任意两点,且记并记则由拉格朗日中值公式,得(2)则在上的图形是凸的.

其中两式相减,即得对在区间上格朗日中值公式,得再利用拉

格朗日中值公式,得其中按情形(1)的假设,故即亦即所以在上的图形是凹的.完

例6判定的凹凸性.解因为所以，题设函数在其定义域内是凹的.完

判断曲线例7的凹凸性.解当时，曲线在为凸的；当时，曲线在为凹的；注意到点是曲线由凸变凹的分界点.

曲线的拐点及其求法定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.拐点的求法:根据定义知,如果在点的左右两侧邻近处异号,则点就是曲线的一个拐点,如果进一步要求函数在区间内具有二阶连续导数,则在这样的点处必有此外,使函数的二阶导数不存在的点,也可能是使导数符号发生变化的分界点.综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的

曲线的拐点及其求法综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为:(1)(2)并求出使不存在的点;(3)检查其邻近左、右两侧二阶导数的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.求函数的二阶导数解出全部实根,令对步骤(2)中求出的每一个点,

凹的拐点凸的拐点凹的例8求曲线的拐点及凹、凸的区间.解易见函数的定义域为令得所以,曲线的凹间为凸区间为拐点为和

的凹凸区间及拐点.例9求函数解函数在处不可导，但时，曲线是凸的，时，曲线是凹的.故点为曲线的拐点.

内容小结1.单调性判别法设函数在上连续，在内可导在上单调增加;在上单调减少;若函数在定义区间上连续，除在有限个点不可导以外存在且连续，只要用

便能确定2.单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.的零点和不存在的点划分的定义区间，的单调区间.

3.曲线凹凸性与拐点的概念若对内内的图形是(向上)凹(或凸)的意两点定义则称设在在恒有内连续，

定理4.曲线凹凸性与拐点的判别法设在上连续，在内具有二阶导数，若在内:则在上的图形是凹的；则在上的图形是凸的.设是方程的根的点，若在点的两侧同号则不是拐点，异号则该点是拐点.不存在或是使