高数导数与微分0205a.pdfVIP

第2.5节函数的微分

一.微分的定义

定义.设y=fx在Ux有定义,若Δy=fx+Δx−fx可表示为:

()()()()

Δy=ΑxΔx+oΔx,即Δx的线性函数与高阶无穷小之和,其中的

()()

Ax不依赖于Δx,则称fx在x处可微,记dy=ΑxΔx,称为fx

()()()()

在x处相对于自变量增量Δx的微分,也可记为dfx.

()

二.可微的条件

定理1.fx在x处可微⇔fx在x处可导.

()()

注.dy=dfx=f′xΔx.

()()

注(有限增量).Δy=f′xΔx+α⋅Δx,其中limα=0.

()

Δx→0

ΔyΔy

注.若f′x≠0,则lim=lim=1.

()

Δx→0Δx→0

dyf′xΔx

()

定义.若y=fx在I上处处可微,则称它为I上的可微函数,此时

()