第2章　平面向量及其应用 5.1　向量的数量积--北师大版高中数学必修第二册课件（共41页PPT）.pptxVIP

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点一向量的数量积的定义;名师点睛

对数量积含义的理解

(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.

(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量.

(3)两个向量的数量积为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦值的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角θ的余弦值决定.;[人教A版教材习题]已知△ABC中,=b,当a·b0或a·b=0时,试判断△ABC的形状.;自主诊断

[人教A版教材例题]已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=,求a·b.;知识点二投影;2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:;名师点睛

1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.

2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的余弦值.;思考辨析

按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cosθ,我们可以如何借助图形分析其正负?;自主诊断

判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)向量a在向量b方向上的投影一定是正数.()

(2)向量a在向量b上的投影数量等于向量b在向量a上的投影数量.();2.按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cosθ,我们可以如何借助图形分析其具体情况?;知识点三数量积的运算律与性质

1.数量积的运算律

对任意的向量a,b,c和实数λ:

(1)交换律:a·b=b·a;

(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb);

(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.;2.数量积的性质

(1)若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cosa,e;

(2)若a,b是非零向量,则a·b=0?a⊥b;

(3)a·a=|a|2,即|a|=

(5)|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.;名师点睛

1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即若已知向量a,b,c,b≠0,a·b=b·ca=c.

2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.

3.常用运算公式

(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.

(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.

(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.;思考辨析

在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;在向量数量??的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?;;探究点一平面向量的数量积;规律方法求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.;角度2.几何图形中向量数量积的计算

【例2】在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.?;规律方法1.解决几何图形中向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.;探究点二投影向量与投影数量;变式探究本例改为若|c|=3,求b在c方向上的投影向量和投影数量.;规律方法(1)投影向量的求法

①向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,投影向量的方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.

②向量a在向量b方向上的投影向量为|a|cosθ

(2)投影数量:a在b方向上的投影数量为|a|cosa,b=a·;探究点三向量数量积运算律的综合应用;(2)已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).;变式探究若将本例(2)中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何?;规律方法熟练掌握两向量的数量积的定义及运算律,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再利用数量积的定义求解.;A.10B.12C.-10D.-12;本节要点归纳;;1;1;1;1;1;