攻克解析几何综合题的几种策略.docVIP

收稿日期：2012-05-11

作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.

攻克解析几何综合题的几种策略

郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)

摘要：解析几何综合题，在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形结合、减少运算等一般性策略,在关键之处有点评,可有效解决这类难题之难点.

关键词：解析几何；综合题；高考题例；解题策略

解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题．这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一,而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点,很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.

全面审题，分部转化

由于解析几何综合题具有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形），通过审结论明确解题目标。但是，由于条件和结论距离甚远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。

例1（2011年湖南卷·理21）

如图1，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．

(1)求的方程；

图1

(2)设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点分别与相交于点D、E.

①证明：

②记的面积分别是问：是否存在直线l，使得

请说明理由.

解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线l与相交问题.第（1）问易得的方程分别为

第(2)问②，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线l与相交于点A、B，实施如下转化即可使问题获得解决:

.

第(2)问②为存在性问题，假设存在直线l满足，需要分别求出、的表达式，由与，则求出点A、B与D、E的坐标即可.

设直线MA的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点A的坐标为

又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为.

【点评】利用类比推理，直接得到点B的坐标，节省了运算.

于是

又由得，

解析:（1）易得.

(2)由条件,则有，

即可得所以，故

.

当直线l不垂直于x轴时，设l：y=kx+m，由，得

，即

将直线l的方程代入椭圆方程，整理得

设点A、B的坐标分别为，则.

由上得，即，再把

代人并化简，得，将代入得

，矛盾．即此时直线l不存在.

当l垂直于x轴时，可验证也不存在.

【点评】由条件得到，再由三角形相似关系推得，从而得到，这是一个由数到形、又由形到数的推理过程,既为本题的解决找到了突破口，又大大减缩了运算过程.如果单纯从已知的向量等式出发，设出P、A、B的坐标代入，来寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，但运算过程较为繁琐.也可用下列向量方法推得：

四、特“形”引路，先知后证

在解析几何的定点、定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明.

例4（2005年全国卷I·理21）

已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a=（3，-1）共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M为椭圆上任意一点，且，求证：为定值.

解析：（1）易得离心率

（2）设出M点的坐标，将条件中的等式用坐标表示.

，则

由（1）问的结果，得椭圆方程为，将点M坐标代入即得

展开，围绕解题目标：证明为定值，故要分离出.

，于是

再如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向.此