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北京大学2025年强基计划笔试数学试题

考试时间2025年6月30日上午9：00-11：00

以下为理科数学试题，共20题.

模7的余数.

2.求sin36。-sin3114。+sin3126。.

3.求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78.

4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,求第2024项模5的余数.

5.求四元组(a1,a2,a3,a4)的个数,使得ai∈{1,2,3},且10a1a2a3a420.

6.求(0,2π]上方程2cosx=sinx的解的个数.

7.求?上方程x(ex4一1-1)+(ex-1)(x4-1)=0的解的个数.

8.求?上方程x2-13[x]+11=0的解的个数.

9.在体积为1的正方体内取一个点,过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为8个长方体,求这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.

10.在离心率为的椭圆中,F1,F2是两个焦点,P是椭圆上一点,且匕F1PF2=求S△PF1F2.

11.用S(n)表示正整数n的数码和,求满足S(n+1)与S(n)均为5的倍数的n的最小值.

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12.称正整数n为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数m满足,都有,求最大的好数的范围.(选项为(0,1000),(1000,2000),(2000,3000).)

13.在△ABC中,求cosAcosBcosC的最小值.

14.在△ABC中,若BC边上的高为求的范围.

15.在△ABC中,若在BC上,比较AD2与2DC×DB的大小.

16.在△ABC中,若O为形外一点,满足匕BOC=2匕BAC,线段OC与线段OB交于D,且OB=OC=3,OD=2,求BD×AD.

17.在△ABC中,若D在BC上,AD平分匕BAC,△ADC的内心与△ABC的外心重合,求匕C.

18.在△ABC中,若D在BC上,AD平分匕BAC,AB=AD=3,CD=2,求△ABC的周长.

19.在△ABC中,求2sinA+sinB+sinC的最小值.

20.a1=√2,求∑4ak.

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北京大学2025年强基计划笔试数学试题解析

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