2025年海南省三沙市某中学高一数学分班考试真题含答案.docxVIP

2025年海南省三沙市某中学高一数学分班考试练习题含答案

一、选择题（每题5分，共40分）

1.有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）

A.180种

B.90种

C.60种

D.30种

答案：A

2.若函数$f(x)=x^2+2x+a$在区间$(\infty,1)$上单调递减，则实数$a$的取值范围是（）

A.$a\leq1$

B.$a\leq0$

C.$a\geq1$

D.$a\geq0$

答案：A

3.已知函数$f(x)=\frac{1}{xa}$（$a\neq0$），若$f(x)$在区间$(a,+\infty)$上是增函数，则实数$a$的取值范围是（）

A.$a0$

B.$a0$

C.$a\neq0$

D.$a=0$

答案：B

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_{10}=100$，$a_5=10$，则该数列的首项$a_1$等于（）

A.5

B.6

C.7

D.8

答案：A

5.若$a^2+b^2=1$，则$a+b$的最大值为（）

A.1

B.$\sqrt{2}$

C.2

D.$\sqrt{3}$

答案：B

6.若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq6\\xy\geq2\end{cases}$，则$z=x+2y$的最大值为（）

A.10

B.12

C.14

D.16

答案：C

7.若$x,y$满足$x^2+y^2=1$，则$x^2+4y^2$的最小值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

8.若函数$f(x)=2x^33ax^2+4$在$x=1$处取得极值，则实数$a$的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数$f(x)=\sqrt{1x^2}$的定义域为$[1,1]$，则其值域为_______。

答案：$[0,1]$

10.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=100$，$a_5=10$，则该数列的公差$d$等于_______。

答案：1

11.已知函数$f(x)=\frac{1}{xa}$（$a\neq0$）在区间$(a,+\infty)$上是增函数，则实数$a$的取值范围是_______。

答案：$a0$

12.若$a^2+b^2=1$，则$a+b$的最大值为_______。

答案：$\sqrt{2}$

13.若$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq6\\xy\geq2\end{cases}$，则$z=x+2y$的最大值为_______。

答案：14

三、解答题（共30分）

14.（本题10分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_{10}=100$，$a_5=10$。求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

解答：由题意得$\begin{cases}S_{10}=10a_1+45d=100\\a_5=a_1+4d=10\end{cases}$，解得$a_1=5$，$d=1$。

15.（本题10分）已知函数$f(x)=\frac{1}{xa}$（$a\neq0$）在区间$(a,+\infty)$上是增函数。求实数$a$的取值范围。

解答：由题意知，$a$必须小于$0$，故$a0$。

16.（本题10分）若$x,y$满足$x^2+y^2=1$，求$x^2+4y^2$的最小值。

解答：由柯西不等式得$(1^2+4^2)(x^2+y^2)\geq(x+2y)^2$，即$17\geqx^2+4y^2$。当$x=\frac{2}{\sqrt{17}}$，$y=\frac{1}{\sqrt{17}}$时，等号成立，故$x^2+4y^2$的最小值为$2$。